i 58 HISTOIRE

l’a trouvé plus haut. La règle de Fermât se réduit donc à ceci.Ayant une expression comme celle-ci x ì — áax 2 -\- é 3 , dont ondemande le maximum ou le minimum , multipliez chaque termeoù est x par son exposant, et divisez par x , en négligeanttous les autres ; eníin , égalez le résultat à zéro, ce sera l’équa-tion qui donnera la valeur ou les valeurs de x , qui rendentcette expression un maximum ou un mìnimum\ ainsi l'expres-sion ci-dessus devient tout de suite 3 x 2 — 6 ax— o, ce quidonne .r=o et xz=2a. Ce seront les deux points où répon-dront des ta n géantes parallèles à l’axe, et conséquemment desplus grandes ordonnées. La courbe en effet exprimée par cetteéquation x 3 — âax 2 b J =. aay dont il est ici question , a laforme qu’on voit dans la figure 62. Elle coupe trois fois son.axe en A B C ; et f origine des abscisses étant en D, elle a unepremière plus grande ordonnée positive D F en D, ou l’abscissex—q, et une seconde négative EG en E , ou x — aa , pourvutoutefois que é 3 n'excède pas 4a 3 ; car dans le cas contraire ,la partie BGC au-dessous de Taxe toucheroit l’axe, ou seroittoute en dessus , et les deux ordonnées plus grandes seroienttoutes deux positives.

C'est par un moyen semblable à celui que nous avons dé-veloppé plus haut pour abréger la règle de maxìmis et mini-mis , que Huygens (1) et Slu e (2) sont encore venus à sim-plifier celle d.s tangentes. Miis comme cette règle est un peucornposee , et que nous ne pouvons pas nous étendre à notregré , nous nous contentons d’indiquer leur procédé. Unexemple est nécessaire pour I’éclaircir : qu’on propose 1 équa-tion x' — vxxy+òxx bbx-\-byy y 3 — o, et qu’on de-mande la soutangente de la courbe qu’elle représente. Pour cela,dit Sluse , il faut mettre à part tous les termes où est^y , comme

—fyy - ixxy , et les multiplier par leurs exposans ; ce

sera le numérateur de la fraction qui exprimera cette soutan-gente. Le dénominateur sera formé de tous les termes où setrouvera x , multipliés par 1 exposant de cette lettre , et divisésensuite par x. On aura donc dans le cas présent pour la valeurde la soutai igen te C’est là effectivement ce qu'on

rencontre en exécutant toutes les opérations prescrites parFermât, ou en employant le calcul différentiel.

X.

La construction des équations solides et plus que solides étoîtencore une des parties de l’analyse de Descartes qui attendoit

(>) Op. t. II*

(2) Trant. Phil. ann. 1672 et i6yz.