,6o HISTOIRE

a et b. On peut d’abord prendre pour première équation in-déterminée y’ — an?, ce qui est un lieu à la parabole : donc^ et mettant cette valeur dey 2 dans l’équation proposée,

on en tire cette autre xy=:ab , qui est un lieu à l’hyperboleentre les asymptotes. On tire encore de la comparaison de ceséquations, cei le- ci x 1 == by , qui est un autre lieu à la para-bole. Nous voici déjà en possession des deux constructions queMenechme donna autrefois du problème que nous analysons.Car il n’y auroit qu’à combiner, ou ces deux lieux à la para-bole , ou l’un d’eux avec celui qui est à l’hyperbole , et l'or-donnée commune seroit la -moyenne cherchée. Mais commec’cst aujourd’hui une faute que d’employer deux sections co-niques , on ne doit pas s’arrêter à ces solutions ; il faut re-chercher un lieu au cercle. Pour cela, il n'y a qu’à ajouterlus deux équations à la parabole qu’on a trouvées ; elles don-neront y 2 — ^by-j-x* — ax — o , qui est un lieu au cercle. Aucontraire, leur soustraction mutuelle en donnera une —

x 1 -{-by - axz=z o, qui sera un lieu à l’hyperbole équilatère.

Si en lin on divise par un nombre quelconque, par exemple 2,l’équation x ’ 1 — by—o (ce qui ne la détruit point), et qu’onl’ajoute à la première , ou qu’on l’en soustraye, on aura-y 1 — ax-\-

y--y — o, qui est un lieu à 1 ellipse , ou y 1 — ax—^ — + -7»

qui est un lieu à hyperbole scalène. D’autres nombres auroientdonné d’autres ellipses ou d’autres hyperboles. On peut ainsiformer une multitude d’égalités indéterminées, qui sont toutesvraies , puisque les primitives qui en sont formées sont vraies.Par conséquent, voilà une inimité de lieux différens dont chacundesquels finconnue y cherchée est une certaine ordonnée. Sidonc on combine celui au cercle avec chacun des autres ,on aura autant de constructions différentes du problème ; etl’ordonnée commune sera la valeur de y. Or la manière decombiner ces lieux est facile. II n’y a qu’à les concevoir décritschacun en particulier, et appliqués l’un sur l’autre , do manièrequ’ils ay en t môme axe et même origine. Par exemple , dans lecas présent, l’équation au cercle ci dessus désigne , suivant lesformules connues , que l’origine des abscisses est l’extrémité Otl’une corde égale à lp, et éloignée du centre de f a, commeon voit dans la figure 63 ( n°. 1 ). Inéquation yy==ax désigneune parabole ( n®. 2 ), dont l’abscisse prise sur l’axe est x ,l’ordonnée y , et le paramètre a. Qu’on conçoive ces deux lieuxappliqués l’un sur l’autre, comme dans la même ligure ( n°. 3 ),en faisant coïncider les points O de l’origine des abscisses et l’axedes ordonnées , on verra que la construction se réduit à prendresur l’axe OP de la parabole au paramètres, OT=:(è; TC=-j<z,

et