NOTES

D U

SECOND LIVRE.

NOTE A.

J.\ous avons promis quelques exemples de Futilité des équations algébriquespour reconnoître facilement la forme et les propriétés des courbes ; nous al on»en conséquence entrer ici dans plus de détails que nous ne pouvions le fairedans le c iurs de notre narration. Commençons d’abord par un exemple desplus simples. Ce sera une équation du second degré, telle que ax-\-xx~yy( y expr.me l’ordonnée , et x l’abscisse ) , et l’on demande la forme de la courbeexprimée par cette équ.ition.

Pour c t eflet , il f.iur d’aboid reconnoître les points ob elle coupe son axe.On y p rviendra en supposant ) — o; car où la courbe coupe son axe , l’or-donnée est nulle. On aura donc ax-\-xxz=.o. Or pour cela il faut que x toitou zéro , ou a j ce qui montre déjà que si l’on piend une indéfinie AE (fig. 35 )pour axe, st A pour l’origine des abscisses, comptées positivement de A ver» E ,la courbe passe non-seulement par A , triais encore pat Je point B , qui en estéloigné en sens contraire de la quantité Ab = a.

Qu’on fasse maintenant x si petit ou si grand qu’on voudra , mais toujourspositif, li valeur de y sera réelle ; car x étant p suif, ~]/ax-\-xx est toujourspossible, pirce que ax-f-xx est toujours podtif Certe valeur donnera do cl’ordoi n^e F D. Mais cette équation yy r= J/ xx donne également

y — ~[/iix-\~xx , ou — y — 'y' a x-{-xx ; ou si l’on veut, y ~r -t- ~\/nx-\- xx ;car la racine deyyest indifféremment-f-ou— y. 11 y a donc une ordonnée E p tprise négativement , c’est-à-dire au-dessous de l’axe , et égale à ce le prise endessus. La courbe aura donc de ce côté deux branches ég les et semblables autourde l’axe A E, et qui s’éiendent à i’mfini, en s'éloignant l’une de l’au.re. Carquelque grandeur qti’on suppose à * positif, ~]/ux~{-xx a une valeur , et unevaleur d’autant plus grande, que x est plus grand.

Mais qu’on fasse x négatif ct moindre que a , la valeur de f/^x-j-xx seraalors impossible ou imaginaire, parce queax-f-xx sera alors négatif-, ,l n’y auradonc point d’ordonnée, et conséquemment de partie de courbe qui réponde àtoute l’étendue AH ra, Mais lorsque x pris négi t-vement excédera tant soitpeu a, alors ax-f-xx cessera d’être négatif , et ~[/ax-\~xx sera réelle. Ainsi ,jl y aura des ordonnées, soit au-dessus, soit au-dessous de l’axe, dans toutel’étendue de B vers L , à l’infini. On démontrera facilement encore que cesdeux portions de courbes sont égales et semblables. Ainsi, en supposant qu’onignorât que cette équation est celle de l’hyperbole rapportée à son axe transvase,