DU SECOND LITRE. 17S

on apprendroit que la courbe qu’elle exprime est composée de deux portionsinfimes et égales qui se présentent leur convexité et fuyent en sens contraire.

Nous prendrons pour second exemple l’equation ax 2 —x’=;_y 5 , qui est celled’une courbe dans laquelle AB étant := u, et A E l’abscisse — x {fig. 30) le quartéde l'abscisse AE p.tr le restant 11 E seroit égal au cube de 1 ordonnée y ; ce quiade l'analogie avec l'équation du cercle où te rectangle de l'abscisse par le restantdu diamètre est égaì au quarté de l’ordonnée. Mai» les formes de ces courbessont prodigieusement différentes; en effet, on voit d abord que , supposant y o,on trouve ax 2 — x 1 =: o , c’est à-dire x = o , ou bien = a ; la courbe passe doncpar A et par B. De plus, tant que x sera positif et moindre que a, la valeur3_

de"J/ux —x* sera positive, réelle et unique; car ax 2 — x x est positif dans cecas : donc y sera positif. Or la racine cube de y ì ne peut être que -f.y ( il estbien vrai*qu’il y a deux autres racines de y 1 , mais elles sont imaginaires ); d’oùl’on doit conclure que cette courbe passe uniquement au-dessus de cette partiede son axe AB, mais non au-dessous. Continuons à faire x positif et plus

grand que <j ; par exemple = 2 a •, alors y ax 2 — x 1 devient J/ 4a 5 — 8a' ,

ou —a "J/ 4. La valeur de y est donc alors négative , et par conséquent lesordonnées doivent être prises en dessous de l’axe , comme on voit dans lafigure.

Mais si l’on fait x négatif, quelle que soit la grandeur de 2 , on trouvera

toujours y ax 2 — x’ positive ; ainsi la courbe a une branche A au-dessus dcson axe, et s’étendant comme la première à l’infini. Telle est donc la forme dela courbe dont on vient d’analyser L’équation.

On montre par un moyen semblable que la parabole cubique, dont l’éqtia-tion est a 2 x ;= y’ , n’est point formée comme la parabole ordinaire , mais quel’une de ce» manches e»t au-dessus de l’axe, tandis que l’autre est au-dessous,et allant en -ens contraire, comme montre la figure 37.

Au contraire , la parabole dont l'équation est ax 2 — y ì a ses deux branchesau-des»us de son axe , mais en sens contraire , et aucune au-dessous ( VoyezM- 3 8 )•

Je prends pour dernier exemple 1 équation xxy-\-aby — í’*s o, en laissantau lecteur le soin de la développer et de l’analyser a’après le» principes exposésci - dessus. Il trouvera que la courbe qu’elle représente est foimée de deux branchesqui coupent l’axe à la naissance des abscisses x . et qui après s’en être un peuécartées, l’une en dessus, l’autre en dessous , s’en rapprochent , et ont leuraxe même pour asymptote. Ce dernier symptôme se découvre e-i faisant dan*cette équation x égale à I infini ; car alors y devient =0, et conséquemmentla courbe se rapproche de l’axe en dessus du cô é posit.f, et en dessous du côténégatif , de manière à le rencontrer dans l'tnfini ; ce qui est le propre del’asymptote. Cette courbe, dont on voit la forme - ans la figure 39, est celteque Neuton appelle Anguinea, et est l’une de« soixance-douze espèces de courbesdu troisième ordre , dont ce grand géomètre a donné l’énumération. On verraplus de détails sur ce sujet dans la cinquième partie de cet ouvrage, dont lathéorie des courbes algébriques formera un article fort étendu.

J.X KJ X j0.

Voici en faveur des géomètres quelques détails de plus sur cette méthode deDes carres. II taut commencer par faire voir de quelle manière on peut déter-snmet 1 intersection ou les intersections de deux courbes. Nous prendrons ici pour