\ji NOTES

exemple une parabole AB b, et un cercle (fig. 45 ). Que AC soit = a, AD=*le rayon CB = r, C D sera donc — a — x. Maintenant puisque l’ordonnée B I)appartient au cercle, il s’ensuit quey 2 z= r—L O — f — a — x — r — i?-\-r<xx —*’ ;inais cette même ordonnée appartient encore à la parabole dont le paramétrer p ;on aura donc y“ =3 px, et conséquemment r— <i a -+- rare — xx =: px. Arrangeons tousles termes d'un côté selon les puissances de rc,nous aurons x 1 — p — uxx-^-a 1 —r'-=r o,équation qui étant du second degré, aura deux racines ou deux valeurs de * ; carnous aurions trouvé la même chose en cherchant l’autre intersection b. II estd’ailleurs aisé de sentir que suivant le rapport des grandeurs a, p, r, ces inter-sections varieront et seront plus ou moins rapprochées , et que ces quantitéspeuvent être telles , que les deux intersections coïncident , en sorte que lecercle touchera la courbe en dedans, et la tangente au cercle sera commune auxdeux courbes.

Pour trçuver donc ce rapport, Descartes forme une équation fictice du seconddegré , dont les racines soient nécessairement égales; telle est celle-ci x "— îex+ee,qui est le produit de x — e x x — t =3 o ; et il la compare terme à terme avec laprécédente; cela lui donne p — ia si£,ou aa — p =5 2t =3 2x , puisque x — e= c ;d’où l’on tire ( au moyen de quelques substitutions qui font évanouir r) a~x>ou CD = \p, ce qui montre que dans la parabole, la sous-perpendiculaire ousous-normale est égale au demi-paramètre, et l’on démontre ensuite avec facilitéque la soutangente est double de l’abscisse. Dans d’autres courbes, les opérationsseront plus laborieuses ; mais on parviendra toujours par ce moyen à l’expressionde la sous-perpendiculaire , d’où suit celle de la soutangente.

NOTE C.

Nous croyons devoir encore éclaircir par quelques exemples le procédé decette règle.

Pour cet effet, nous prendrons ('équation au cercle qui, en faisant le rayonna,('abscisse x et l’ordonnée y, est 2ax — xx = yy , et nous supposons qu’on ignorâtquelle est la position de la plus grande ordonnée, il faut à la place de x substi-tuer dans l’équation , x-f-e, ce qui donne celle-ci iax-\-2at — xx — axe— ct— — xx-, en ôtant les termes communs, il reste lac — axe— ce — o. Sup-

primons encore ce, puisqu’il s’anéantit au moment où x-|-e devient x, on aura2at — 2xe = 0, ou 2 ae == 2xe, ou x=s a: ce qu’on sait déjà ; savoir que l’abscisseà laquelle répond la plus grande ordonnée, est égale au rayon ; car cette ordonnéeest celle qui répond au centre.

Mais supposons qu’on demandât la plus grande ordonnée dans la courbe dontPéquation est y 3 s ax 3 — x’ (cette courbe est celle de la figure 36 ) , ou ce quiest la même chose , qù’on demandât quel est le plus grand produit d’un dessegmens d’une ligne par le quatre de l’autre ( car on parviendroit en cherchantà résoudre ce problème , à la même équation ) ; nous aurons dans ce cas, suivantle procédé de la règle , axd— x ì sax —x 3 — 2 axt~\~ aet-^-iaxc — 3 ex* — jecx—c*.Otons-en les termes communs , ensuite supprimons encore les termes où c se trouveau quarré ou au cube; car ils sont infiniment petits, eu égard aux autres; ilrestera 2 je=zixc, xzs , et l’on voit par là que le plus grand produit de-mandé est celui qui se fait du quarré des deux tiers de la ligne , par l’autretiers.

Si l’on demandoit, un nombre a étant donné, quel est le plus grand produitd’une partie de ce nombre par le cube de l’autre, oh trouveroit de même quoce seroit celui du cube des trois quarts de la ligne par le restant.

Dans la courbe Anguipèc, dont nous avons donné la forme dans la figure 39,