DU SECOND LIVRE. 1 y5
et dont l’équation est xxy -f- aby — a*x s o , on trouvera pour l’abscisse a la-quelle répond la plus grande ordonnée, *— -4- ~]/a b . ce qui fait voir qu a unedistance en avant et en arrière del’origine, égale à ~[/ab , répond cette pi usgrande ordonnée , laquelle, en mettant ~[/ab , au lieu de x , se trouve ~ \/ abdu côté positif, et — d J/âbdu côté négatif.
NOTE D.
Voici un exemple de cette méthode , appliquée 'à l’hyperbole équilatère( fig • 5 3 bis. ) ; que le demi-diamètre transverse soit a , l’abscisse ACs^CDs;,B C se trouve, par l’équation de la courbe, être =.~[/ï ax-fi-xx ; et si A cest =s x — « , on aura C b ~ ìax — zae -\-xx-{~zex-{- u ; mais à cause de lasimilitude des triangles, on aura BC : éc : : CD:cD, ou B C 1 : éc a :: CD": c D",c’est-à-dire iax -(- xx : zax -f- xx — z*e zex -|- ec : : —• 2cç -|- ce. Multi-
pliant ensuite les extrêmes et les moyens , rejettant ensuite les termes communsaussi-bien que ceux où se trouve ee , puisque e s’évanouit au moment cù lespoints C et c coïncident, il restera seulement des termes affectés de e , èt con-séquemment qui étant divisés par e, laisseront une quantité en x et ç , qui seréduira à qui est la vraie expression de soutangente dans l’hyper-
bole rapportée à son axe transverse , ainsi qu’on le déduit de toute autre méthodeet de ce qu’on sait par la théorie ordinaire des coniques.
NOTE E. .
La démonstration de ce théorème est facile; car dans la figure 34, concevonsune ordonnée p d infiniment proche de PD, et de même qu’au lieu de P Drous avons élevé sur l’axe la ligne P E égale à la quatrième proportionnelleà P D , A D et B , soit élevée au lieu de p d la ligne p e égale à la qua-trième proportionnelle à p d, p a et B; soit enfin tirée dl parallèle à l’axe, onaura les deux triangles dl D, DPA semblables, et conséquemment dl à D d,comme DP à DA. Or par la construction DP:DA:: B : PF ; donc dl ou P^x PEest égal à D d par B. Ainsi le rectangle infiniment petit P e, élément de Paire dela courbe H F G , est égal au rectangle de la ligne constante B par l’élément del’arc H D ; ainsi Paire H P EF est égale au rectangle de la courbe H D par la ligneconstante B. Tel fut le procédé de Van-Heuraet.
Voyons maintenant la démonstration de la méthode très-analogue pour ladimension des surfaces de circonvolution que nous attribuons avec confiance àFermât.
Qu’on ait une courbe quelconque , comme I D B ( fig. 55 , n" 1 . 1 ,2,3),et que l’ordonnée P D dans chacun de ses points soit prolongée de telle sorte ,que P E soit égale à la normale D G au point D de la courbe. Ce point E ,et tous les autres semblablement déterminés e formeront une courbe F E e , dontPaire sera égale à la surface de l’onglet cylindrique sur le. plan de la courbe,retranché par un plan incliné de 45 0 . et passant par l’axe I A.
C.ar supposant une autre ordonnée infiniment proche p d et le point e déterminéoe mêine ; qu’on tire D/ parallèle à l’axe , on aura le triangle D Id semblableau triangle D P G , et l’on aura D / à D d , comme P P à P E, c’est-à-dire DlP f X P E égal à D d par P D. Or le premier de ces rectangles est l’élémentde p 3116 ! courbe I F E , et celui de D d par P l) ou p d est celui de la surfaceonglet décrit ci-dessus ; conséquemment l’un est égal à l’autre.