35 o HISTOIRE

seront en progression arithmétique. Ceux des premières étantdonc 3,2, i , o , il faut que ceux des suivantes soient— i , —• 2 , — 3 , &c. Ainsi l - n’est autre chose que x —',

et A est x— m . Cette remarque heureuse mit Wallis en posses-sion de la mesure de tous les espaces , soit plans, soit solides,dont les élémens sont réciproquement comme quelque puis-sance de l’abscisse ; dans l’hyperbole ordinaire , par exemple ,

1 ordonnée est réciproquement comme l’abscisse , et dans cellesdes ordres supérieurs , elle est réciproquement comme unepuissance de cette abscisse, c’est-à-dire, que l’équation detoutes ces courbes est y ■= —, ou$=x “. Or on a vu quedans les courbes dont l’équation est y — x m ,\e rapport généralde l’aire au parallélogramme de inême base et de même hauteur,est ì : m -p ì ; et cela est vrai,quelle que soit la grandeur de m.Cela sera donc encore vrai , suivant les lois de l’analyse etde la continuité , même lorsque m deviendra négatif ou — in.Ainsi le rapport ci dessus sera dans ce cas celui de ì : — m -\-1 ,ou en général de ì à m -f- ì , en prenant m avec le signe quiT affecte. Dans l’hyperbole où les ordonnées sont réciproque-ment comme les racines de l’abscisse , m est \ , et par consé-quent — rn —— Ainsi Tespace hyperbolique AH {fg- 92),est au rectangle C B, comme 1 à —1 , ou 1 à j. Si /rc = i,ce qui est le cas de l’hyperbole ordinaire ; ce rapport est1 : — 1 -f- 1 , ou 1 : o ; ce qui montre que l’hyperbole ordinairea son espace asymptotique infini.

11 se présente ici une difficulté dont Wallis , malgré sa saga-cité , n’apperçut pas le dénouement. Lorsque l’exposant néga-tif m, est un nombre entier 3, par exemple, qui surpasse l’unité,le rapport ci-dessus est 1 : — 2 ; c’est-à-dire , celui de l’unité àun nombre négatif. Or on sait, et il est facile de montrer que1:0, exprime un rapport infini : que désignera donc cette autreexpression, peut-on se demander ? Wallis imagina qu’elle dési-gnoit un espace plus qu’infini ; paradoxe singulier , dont on doitla solution à M. Varignon. Ce que Wallis a pris pour un espaceplus qu’infini, n’est qu’un espace fini pris négativement ou ensens contraire. 11 arrive dans ce cas , ce dont l’analyse fournitdes exemples fréquens. On trouve la grandeur, non de l’espaceCABGHC qu'on demandoit , mais celle du reste de l’espacehyperbolique CK 1 BL qu’on ne demandoit pas. Il est facile des’en convaincre ; car en cherchant la mesure de cette partieC L BIK , par son équation rapportée à Taxe CL, on trouve lamême chose que ci-devant, mais d’une manière positive. !Nousremarquons à cette occasion une propriété de toutes les hyper-