352 HISTOIRE

terme entre cliacun de ceux'-là, celui qui tomberoit entre( i — 27 27)0 , ( i — .2?27)', seroit ( i —2727 )r, qui est l'expressionde boulonnée du cercle. On auroit par conséquent la quadra-ture du cercle , si dans la suite i , f , A. , -±L , &c. , il étoitégalement facile de trouver le terme moyen entre 1 et Cettemanière de' raisonner en Géométrie , a été nommée Interpola-tion. C’est insérer dans une progression de grandeurs qui suiventune certaine loi, un ou plusieurs termes intermédiaires qui s’yconforment autant qu’ils peuvent le faire. Cela est facile dansles progressions arithmétiques et géométriques , dans celle desnombres ligures quelconques ; mais il n’en est pas ainsi dansle cas que se propose Wallis , et il y a bien du génie et del’adresse dans la manière dont il recherche ce terme. Nousnous contenterons de dire que , ne pouvant le trouver en termesfinis, il l’expriine par une fraction dont le numérateur et ledénominateur sont infinis , et sont formés d’une suite de mul-tiplicateurs qui suivent une progression très - élégante. Cette

expression est celle - ci de sorte que le

1 3 xáx^X-íX 7 X 7 X 9 X &c. 1

rapport du quarré circonscrit au cercle, est celui de l’unité àl’expression ci dessus, ou de l’unité , à f x -*-f X X 3 ° , &c. oubien à f x 4? X j-f x , &c. ; ce qui approche damant plus dela vérité que l’on prend un plus grand nombre de termes.M. Euler a depuis fait voir l’identite de cette expression avecla Suite si connue pour la longueur du quart de cercle , lerayon étant l’unité , Savoir 1 —j -f-j— j , &c., ce qui est unepreuve sensible de la vérité de l’expression dont il s’agit. Onla réduit aussi facilement à cette forme j-l-^ A+ —B-{-^j C, &c.dans laquelle A , E, C , &c. représentent chacune le termeprécédent.

Une ample moisson de découvertes est ordinairement la récom-pense de l’invention d’une méthode nouvelle ; ce succès étoitf!fi à Wallis. Son Arithmétique des infinis contenoit bien desnouveautés géométriques , elles ne sont cependant qu’une fortpetite partie de celles qu’il découvrit dans la suite , en faisantusage de sa méthode. Les célèbres problèmes de M. Pascal surla cycloïde en fournissent une preuve. M. Wallis les résolutpresque tous , et en peu de temps , comme on l’a dit en faisantrhistoire de cette courbe. Bientôt après il donna la mesure dela surface de la Cyssoïde et de la Concho'ide , aussi-bien quede r. solides formés par leurs circonvolutions ; il démontra l'éga-lité de la longueur de la parabole et de la spirale , et que leurrectification dépendoit de la quadrature de l’hyperbole ; il déter-mina des espaces plans égaux aux surfaces courbes des conoïdesparaboliques, elliptiques et hyperboliques. Ces recherches et une

multitude