366 HISTOIRE

i®. Que tous les premiers termes sont x •,

2°. Que les signes sont alternativement positifs et négatifs}3 °. Que les puissances de x y croissent par degrés impairs.Ce doivent donc être là des conditions communes à 1 expres-sion cherchée et anx précédentes ; et comme il est facile des’y conformer , il n’y a que les coétliciens qui fassent de ladiíliculté. Four les trouver , remarquons encore avec JNeutonque le dénominateur de chaque fraction qui forme le coéfficientde chaque terme , est l’exposant même de la puissance de xdans ce terme ; à l’égard des numérateurs, on voit, avec unpeu de sagacité , que uans la seconde colonne , ils croissent pardes différences égales ; dans la troisième , ce sont les nombrestriangulaires r. 3 . 6 . , &c. ; dans la quatrième , les nombrespyramidaux, 1.4. 10,, <Stc.

Ce fut sans doute par cette considération que Neutoti parvintà reconnoître que m étant l’exposant de la puissance de 1— xx t

ou qu’ayant à développer en général i —xx , la suite des

numérateurs étoit en générai ì.m. - : —-, &c. JLn

effet, m exprimant un nombre entier quelconque, 1 estl’expression générale de la suite des nombres triangulaires }m ~l' celle des nombres pyramidaux , &c. U est aisé d’en

faire l’épreuve sur les termes déjà connus. Fuis donc que cesexpressions sont vraies à l’égard île rn, tant qu’il est un nombreentier, elles le seront de même s’il est un nombre rompu ,corntne -j dans le cas présent. Ainsi les numérateurs cherchéspour le terme moyen entre le premier et le second de la Suiteci-dessus seront 1 ; ~ } —> -j ; -f- ~ ; — 7^ , &c. qui u nbipliantrespectivement les termes que rious avons vu devoir être

x } — ; -p ~ ; — — ; -f- —, &c. , donnent pour la Suite cher-

chée, x — ~x J — -h.r ! a; 7 1 -x*. &c. C’est-là la valeur

de Faire du segment circulaire répondant à Fabscisse x, prise àcommencer du centre. M. Neuton s’apperçnt bientôt après qu’ily avoit une manière plus simple de trouver la même Suite ; c’estd’extraire par la méthode ordinaire la racine de 1 —xx , et decontinuer l’opération jusqu’à ce qn’on ait un assez grand nombrede termes pour appercevoir la loi de la progression. On trouve

par cette voie que J/1 — xx, est 27--—-g- 77, — —, &C.

ce qui étant traité suivant les règles de l ’Arithmétique des infinis,donne la même Suite que ci-dessus.

Cette découverte mit Neuton en possession d’une autre nonmoins intéressante, et qui auroit dû naturellement précéder