3 7 o HISTOIRE

Tordonnée parcourra B b, inais par l’espace Ee, qu’il parcour-roit avec la vitesse acquise au point C , conservée sans augmen-tation ni diminution. Car ce point décrivant ne parvient én cqu’en vertu de l’accélération ou de la retardation qu’il éprouvedurant le temps que l’ordonnée met à parcourir B b, puisques’il n’eût pas été accéléré ou retardés, l’espace qu’il eût parcourueût été la ligne Ee, interceptée entre la parallèle CE et la tan-gente au point C.

Ce que nous venons de dire montre déjà le principe de larègle des tangentes dans ce calcul. Sans faire aucune supposi-tion dure , comme celle-ci , que les parties inJiniment petites decourbe sont des lignes droites, et que les tangentes sont leursprolongations , on peut prendre l’intervalle entre deux ordon-nées quelconques B C , bc, si grand qu’on voudra ; et si YCeest tangente au point C, et CE parallèle à l’axe , CE sera lafluxion de l’abscisse , et E e la fluxion correspondante de l’or-donnée , de sorte qu’il est évident que la fluxion de l’ordonnéeest à celle de l’abscisse, comme l’ordonnée à la soutangente.On verra dans la suite comment, par l’expression analytique dela courbe , on trouve le rapport de ces deux fluxions. De mêmec’est la ligne Ce qui est la fluxion de la ligne courbe A C ; ainsil’on voit encore que le quarré de la fluxion de la courbe, estégal à la somme de ceux des fluxions des coordonnées , ce quiest le principe des rectifications. "

II n’est guère plus difficile de déterminer , à l’aide des prin-cipes ci-dessus , quelle est la fluxion d’une aire curviligne. Cen’est pas l’espace C Ebc, dont croît réellement cette aire, maisle rectangle BE , formé de l’ordonnée par la fluxion de l’abs-cisse. Car , pour prendre l’exemple le plus simple , dans letriangle où l’abscisse flue uniformément , Taire croît ou flued’un mouvement accéléré , puisqu’en temps égaux les accrois-semens sont de plus en plus grands. Or il est évident que lepetit triangle CEe , est ce qui est produit en vertu de cetteaccélération. 11 faut donc le rejeter; et la vraie vitesse de Tairecroissante AIÌc, quand elle est parvenue à cette grandeur, estle rectangle C B b a. Ce qu’on vient de dire du triangle s’appliquefacilement aux autres cour bes ; ainsi la fluxion d’une aire quel-conque est le produit de l’ordonnée par la fluxion de T abscisse.Celle d’un solide est le produit de la fluxion de Tabscisse par lasurface génératrice , qui sera , par exemple , le cercle décrit durayon B C , si ce solide est le cône ou le conoïde produit par lacirconvolution de la figure ABC autour de AB.

Cette, manière tl’envisager Taccroissement des figures, nousconduit naturellement aux fluxions des fluxions, et aux fluxionsde tous les ordres, sans qu’on puisse leur opposer aucune des