j6 HISTOIRE

à l’o rigine P , avec des ordonnées inclinées PQ, pq ì &c., sera

Si l’on vouloir que le nouvel axe fut lui-même incliné à Taxeprimitif, on y parviendroit encore. II est en effet dans la théoriedes courbes des équations qui l’exigeront, comme celle dedéterminer le centre d’une courbe , lorsqu’elle est de nature àen avoir un. Mais ces opérations , qui paroissent assez longueset laborieuses , sont considérablement abrégées par divers pro-cédés qu’enseigne Cramer , et qui sont tels, qu’il n’est presquebesoin, d’après Prospection de 1 équation primitive, que d’écrirecouramment la nouvelle équation. II est même rarement besoinde transformation si compliquée , parce que , comme on leverra dans la snite , on reconnoîtra souvent d’avance les termesqui doivent être anéantis dans la nouvelle transformée.

11 est aisé de voir par le procédé de cette transformation ,que dans la nouvelle équation , la nouvelle indéterminée u ,représentant l’ordonnée , ne sauroit monter à un degré plushaut que celui où montoit dans l’équation primitive , et l’in-déterminée z à un degré plus haut que oc. Ainsi les diversesvaleurs qu’aura u en donnant à l’abscisse z une valeur déter-minée , et dont le nombre ne sauroit être plus grand que celuide l’exposant de u , désigneront le nombre des points où l’or-donnée coupera la courbe ; et si l’on fait l’ordonnée u égale àzéro, l’équation qui en résultera , et où il n’y aura que l’abs-cisse z ou ses puissances , désignera par ses racines les pointsoù l’axe des abscisses coupera la courbe ; ce qui ne peut etredans cet exemple qu’en un point , l’abscisse z n’ayant qu unedimension j et effet, l’axe et toute parallèle à l’axe dans laparabole , ne la peut couper qu’en un point.

Nous tirerons de là, en passant la démonstration de ce quenous avons donné plusieurs fois comme une vérité fondamen-tale de la théorie des lignes courbes, savoir qu’une ligne droite ,dans une ..position quelconque , ne sauroit couper une courbeen plus de points qu’il n’y a d’unités dans l’exposant du termele plus haut de son équation ; comme aussi qu’une ligne pa-rallèle aux ordonnées ne peut couper la courbe en plus de pointsque la plus haute puissance de l’ordounée ; enfin , que la pa-rallèle à Taxe des abscisses ne sauroit non plus la couper en.plus de points que la plus haute puissance de l’abscisse dansl’équation.

11 suit encore, de ce qu’on vient de dire , que si dans cetteéquation on fait z ou l’abscisse = o , elle exprimera par lenombre des valeurs du u , le nombre de points où la courbesera coupée par cette ordonnée, passant par i’origine f des