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HISTOIRE

X.

Après avoir exposé aussi amplement que nous bavons fait,la théorie des lignes courbes décrites sur une surface plane,nous ne pouvons nous dispenser de traiter d'une partie de lagéométrie qui lui est fort analogue ; savoir, celle des surfacescourbes. En effet , de même que la Géométrie moderne estparvenue à exprimer les propriétés d’une courbe quelconqueplane, par une équation algébrique j on est aussi parvenu àexprimer celles d’une surface courbe par une équation pareille ,mais avec cette différence que, tandis que la position d’un pointd’une courbe plane peut être représentée par une équation entredeux quantités, comme x et v , qui sont les coordonnées dela courbe; la position d’un point d’une surface au-dessus duplan qui lui sert de base, ne peut être exprimée que par troiscoordonnées ; deux sur cette base et la troisième , la perpen-diculaire tirée de ce point sur la base. Donnons-en un exemple.

Un des plus simples sans doute est celui de la surface de lasphère, rapportée à un plan passant par son centre. Supposonsdonc une sphère ainsi coupée, et que le cercle qui en résulte soitcelui dont le centre est C et le diamètre AB (fig- 29 ), du pointP de la surface sphérique, soit abaissée une perpendiculaire P E ,et du point E une autre perpendiculaire E D sur le diamètre AB,on aura l’expression de la position du point P si l’on trouve lerapport entre les trois lignes CD, DE, EP; or l’on volt avec laplus grande facilité que, quelques soient les lignes CD, DE, EP,la somme de leurs quarrés sera partout égale à celui du rayonC P de la sphère. Faisant donc CD = x, D E , E P = z, lerayon CAouCBouCP — r, l’équation de la surface sphériquerapportée au cercle passant par son centre, sera x 2 -{-y 2 -f z 2 —r 2 .

On verra ici renaître, pour déterminer les propriétés d’unesurface courbe, les mêmes procédés que pour reconnoître cellesd’une ligne courbe. En effet, supposons l’ordonnée z ==. o. Demême que dans la théorie des lignes courbes, la supposition quel’ordonnéej' est égale à o donne le point où la courbe coupe sonaxe, ici de cette même supposition que z = o, doit résulter l’é-quation de la courbe que fait la surface en coupant sa base. Ainsidans cette supposition de z = 0, nous aurons pour cette courbel’équation a?-+ y 2 -=z r 2 , ce qui est celle d’un cercle ayant sonrayon égal à n.

De même aussi qu’on peut rapporter l’origine des coordonnéesd’un cercle, à tout autre point qu’à son centre ; ainsi l’on pourrarapporter celle des coordonnées de cette surface sphérique à

tout