122 histoire

C’est dans la méthode des tangentes, appliquée convenable-ment, que réside ce moyen. Le problème se divise en deux r Unecourbe étant donnée par son équation,, trouver si elle a quelquepoint semblable , ou bien : un point d’une courbe étant donné ,trouver si ce point est un point simple ou multiple et de quelleespèce de multiplicité il est.

On sait que les coordonnées dune courbe étant x et y , la sou-

tangente est donnée par l'expression différentielle—^, dans

laquelle, en substituant, au lieu d Q y et dy, leurs valeurs en xet dx, il en provient une expression d’où disparoissent dx et dyet qui donne en termes finis la valeur de la soutangente expriméeen x. Ce sont là les élémens du calcul différentiel, et le plussouvent il n’y a aucune difficulté. Lorsque le point donné n’aqu’une tangente l’expression en x de la soutangente n’a aussiqu’une valeur ; mais dans les courbes d’un ordre supérieur, oùl’expression générale de la soutangente est ordinairement uneexpression fractionnaire, lorsqu’on substitue dans le numérateuret dans le dénominateur la valeur déterminée de x pour le pointdonné, il arrive quelquefois et même fréquemment que l’un etl’autre deviennent zero; or qu’est-ce que f ? Ce n'est pas un zeroabsolu, car deux quantités qui s’évanouissent à lg fois peuventavoir un rapport entr'elles au moment où elle s’évanouissent,mais il n’en est pas moins vrai que c'est une expression ambiguëdans laquelle l’analyse s'enveloppe en ce cas, comme ne pouvantrépondre sans induire en erreur. En effet, les cas où cela arrivesont ceux dans lesquels le point proposé à tirer une tangente estau moins double : car un point double formé, par exemple , parl’intersection de deux branches de courbes a deux tangentes à cepoint, savoir une à chaque branche, un point triple à trois tan-gentes etc. L’analyse mentiroit donc si elle n’en donnoit qu’une ,ce qui est le cas de tout autre point commun ou ordinaire de lacourbe.

Mais comment trouver la valeur ou les valeurs de cette expres-sion ambiguë? II étoit réservé à Jean Bernoulli.de forcer ceProtée à parler clairement: c’est un problème qu’il proposa en1694 aux géomètres et analystes François, et, que l'Hôpital lui-inême ne résolut pas. Saurin néanmoins y touchoit de près , dansun mém. sur la théorie des courbes imprimé dans le journal dessavans de 1702, pendant le cours de sa querelle avec Rolle sur lecalcul différentiel. Ce moyen, que Bernoulli dévoila eníin en1704, consiste à différentiel- de nouveau et à part le numérateuret le dénominateur de cette fraction, et à substituer dans cenumérateur et dénominateur, la valeur qui avoit fait évanouir lapremière expression ; on aura alors, si le tout ne s’avanouit pas