DES MATHEMATIQUES. Part. V. Liv. I. 121

Sl on a les valeurs de dy, y, égales à zero , tandis que d 1 y ,d* y, ne s’évanouissent pas,le point sera un maximum ou unminimum , savoir un maximum si les différentielles paires, commeddy , d 4 y, donnent des valeurs négatives, et au contraire unminimum , si ces différentielles donnent des valeurs positives.Mais si au contraire les valeurs de ddy , d 4 y s’évanouissoient ,celles de d ' 1 y ne s’évanouissant pas , ce seroit un point d’in-flexion.

La démonstration de ces vérités tient à un théorème élégant etutile, de M. Taylor que voici : si dy, ddy , d 1 y etc. sont les diffé-rentielles successives de l’ordonnée y répondante à i’abscisse x ,ot qu’on suppose x croître d une quantité infiniment petite ,alors l’ordonnée correspondante à l’abscisse x -4- dx sera

y - 4 - dx -+- ddy y- y- &c. La loi de cette pro-

gression est suffisamment apparente. Mais si nous prenons dxnégatif , alors l’ordonnée répondante à x — dx sera y — dy

"+• ád /— à. On peut voir dans divers auteurs la démons-tration analytique de ce théorème ; mais le P. Frisi en donne,dans un ouvrage dont nous parlerons plus bas, une démons-tration synthétique , qui m’a paru également simple et lumi-neuse. Flous la donnons par cette raison en note à la fin dece livre.

Ce théorème supposé, il est aisé de voir que pour la détermi-nation d’un maximum ou minimum il faut voir ce que deviennentles deux ordonnées infiniment proches de celle qui est réputée laplus grande ou la moindre , c’est-à-dire les deux ordonnées ré-pondantes à x — dx, et x + dy. Si leurs deux valeurs sontI î 1 . eine s !g ne » on aura un maximum ou un minimum suivantqu elles seront négatives ou positives ; mais dy ayant été faitégal à zero, les deux premiers termes des deux suites ci-dessussont égaux, il faut donc recourir au troisième qui est dans

chacune ^ qui ne doit pas être nul, car s’il Fétoit il faudroit

recourir au terme suivants qui dans l’une des suites est positifet dans l’autre négatif. Les deux ordonnées voisines de cellequ on examine, seront donc nécessairement, l’une moindre, l’autreplus grande, et conséquemment cette ordonnée mitoyenne nesera ni une plus grande ni une moindre: ce raisonnement, quipourroit être prolongé plus loin, doit suffire ici.

Apres ces détails sur les limitations de la règle de maximis ety h est temps de passer à la méthode de déterminer, aucombe ^âlcul différentiel, les points multiples dans une

lomé III . Q