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plus en plus simples ou faciles, et nous pourrions renvoyer àleurs ouvrages. II manqueroit néanmoins à celui-ci quelque chosesi l’on n’y trouvoit nulle part cette démonstration. C’est pour-quoi nous en donnerons une dans une des notes de la tin dece livre.

M. de Moivre publia ces belles découvertes en 1780 , dansson livre intitulé : Miscellariea analytica de seriebus et qua-draturis. Cet excellent ouvrage , dont il est nécessaire que nousdisions quelque chose de plus , contient les plus savantes recher-ches d’analyse. II est divisé en huit livres , dans le premier des-quels il expose son nouveau théorème , qu’il démontre dans lesecond. Le troisième est particulièrement employé à parcourirles difíérens cas des fractions rationelles, et même à y réduirecelles des fractions irrationelles qui en sont susceptibles. Lescinq autres livres traitent d’autres sujets analytiques ; comme laconsidération et la sommation de certaines suites qu’il nommerécurrentes , et d’autres formées selon certaines lois ; divers nou-veaux problèmes sur les jeux de hazard , supplément de son livreThe doctrine of chances ; le fameux problème des trajectoireset quelques questions de maximis et minimis , sur les mouve-mens des planètes. Nous aurons occasion de parler de ces diversobjets dans la suite de cet ouvrage.

Quoique nous ayons déjà vu un grand nombre de formes dedifférentielles à une seule variable , dont l’intégration a occupéles analystes , nous sommes encore bien loin de les avoir épuisées.II en est sur-tout une espèce qui se présente fréquemment dansles calculs ; ce sont celles qui se trouvent mélangées de quantitéslogarithmiques et exponentielles. On en a déjà donné une légèreidée dans le volume précédent, en parlant du calcul exponentiel,nouvelle espèce de calcul inventé par Jean Bernoulli. Mais cequ on en a dit étoit si peu approfondi , que nous avons pensédevoir y revenir ici et entrer dans de plus grands détails.

On a des exemples de ces différentielles dans ces expressions,

dxlx ; xdxlx ; — ; dxllx , ce qui signilie log. de log. x ;

ce sont les plus simples. II y en a de plus composées, comme(lx) m ~'xdx ; m(llx) m ~ l xdx , &c. II est à propos de donnerune idée de la manière ou d’une des manières de parvenir àleur intégration.

Observons d’abord que si l’on avoit cette différentielle ydx »on auroit son intégrale égale à xy — S.xdy. On s’en convaincrafacilement en différentiaut cette expression , car elle donneraydx-\~xdy — xdy=ydx. Si donc nous appliquons ce moyend’intégration à la première des formules ci-dessus , dxlx , nousaurons son intégrale ~xl,x — S.xdlx. Or dlxx^y* Ainsi, cette