*58 HISTOIRE

intégrale deviendra xl.x — S. —■ = xl.x — cc. Nous faisonsabstraction de la constante.

En appliquant cette méthode aux formes suivantes, on trou-vera S. xdxl.x l.x — ~ x' j la troisième 4^ aura pour inté-

grale l.lx. Celle-ci, m. ( l.x) m ~ l traitée de la même manière,

ou en substituant y à lx , donnera pour son intégrale ( Ix ) m ;celle de la dernière se trouvera, par le même procédé, égale à( l.Lx Y : sur quoi il est à remarquer que quelquefois cette in-tégration conduit à une suite infinie de termes ; ce qui annonceque la différentielle proposée n’a pas même d’intégrale finie enlogarithmes.

11 est enfin des formes de différentielles dans lesquelles lavariable entre dans l’exposant d’une quantité , soit constante ,soit variable elle-même. Telle est, par exemple , celle-ci, e x dx ,( e étant le nombre dont le logarithme est égal à l’unité ). Cetteformé se présente souvent, et il est à propos de savoir que sonintégrale est précisément e x ; celle de a x (a étant une quantité

quelconque ) , est Voici encore , pour terminer ce que nous

avons à dire sur ce sujet, une de ces formes de différentiellesà exposant variable ; c'est celle-ci : ze^dz ( e étant le nombredont le logarithme est l’unité ) ; on trouvera que son intégrale

est ——— . Mais en voilà assez sur ce sujet. Notre objet n’as ss _ * ^

pas été de faire ici un traité du calcul intégral; c’est pourquoinous renverrons aux ouvrages qui traitent spécialement de cecalcul ; celui de Bougainville nous paroît contenir tout ce qu’onpeut désirer à cet égard.

Il se présente encore quelquefois des formes de différentiellesqui pourroient paraître embarrassantes , et dont il convient dedire ici un mot. Ce sont celles où plusieurs signes d’intégrations’enveloppent en quelque sorte les uns les autres ; telle est celle-ci :

S dx S , ce qui ne signifie pas qu il saille multiplier une

y a & — xx

intégrale par l’autre; mais qu’après avoir intégré la secondedifférentielle , il faut la multiplier par la quantité sous le pre-mier signe d’intégration , et intégrer de nouveau. On pourraits’y prendre de cette manière ; mais le moyen le plus simple dele faire est celui-ci, et il est déduit de ce que nous avonsobservé plus haut, savoir que S .ydx=zxy — S.xdy. On trou-vera donc dans l’exemple proposé, pour l’intégrale cherchée,

O adxxo. - / —^-

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S. (xxd Or dS.~^=V aa — xx ' y aa —

adx

\/aa — 3