16 a HISTOIRE

cette série est fort peu convergente, son usage est le plus souventnul. On ne peut même , par ces raisons , lui appliquer les règlesimaginées par quelques géomètres, pour en hâter la convergence.

11 est vrai qu’on a encore trouvé quelques séries pour calculerla longueur du quart d’ellipse,plus commodes que celle que donneimmédiatement le calcul intégral. MM. Simpson et Lambert ontmontré, chacun à sa manière, que si le demi-grand axe de l’el-lipse est — <2, le demi petit axe =; 6, conséquemment la demi-

excentricité -z=.Vc? — Ù* — e, qu’on nomme enfin — 1 arc du

quart de cercle décrit du rayon — a ; ils ont, dis-je, montréque le quart d’ellipse correspondant étoit égal à cette suite

J_ rr / 1 1 f* 1 _ L-3 ^4_ 1 -9- í 1 - 9-2 î • 7 _^,8. 1 -9*2 5 .4 9-9 Sir p %

4 U V 1 4 416 4-16-3 6 ^ 4.1 6'3 6-64 c 9 4-1 6-3 6-6 4.1 o o &

dont la progression est facile à appercevoir, et même élégante.Mais cette série est encore médiocrement convergente , à moinsque e ne soit beaucoup au-dessous de l’unité. Car appliquons-làà une ellipse dont les axes soient comme 1 à ~ ; on aura alors

a—i. 6 = ~ Ainsi la

serre sera-

it

(1-1V

2 7 ____ ! 2 I 5

1024 ! 4 7 4 5 6

. 1 2 7 5 7 6_

‘37448736

, &c. ) , ou en fractions décimales — ( r — 0.1875000

—- 0.0263672 — o.003379 — 0.008289 , &c. ), dont la conver-gence est médiocre dès le quatrième terme. D’ailleurs, c’estmoins d’un quart d’ellipse qu’on a besoin le plus souvent, qued’un arc d’ellipse indéfini ; car c’est à des arcs d’ellipse de cetteespèce que se réduisent le plus souvent les intégrales des diffé-rentielles ci-dessus. Or si l’on applique à l’arc indéfini la mé-thode qui a donné la série ci-dessus , on trouve à la vérité unesérie , mais dont chaque coefficient est lui-même une série in-finie ; en sorte que de tout cela , il ne résulte presque rien quisoit applicable à la pratique. Il seroit en conséquence utilequ’on eût une méthode plus facile d’approcher de la grandeurd’un arc quelconque d’ellipse donnée.

II en est à-peu-près de même de la rectification de l’arc hyper-bolique. La série de l’arc tirée de l’équation entre les coordonnéesrapportées à Taxe transverse est précisément, aux signes près ,de la même forme que celle pour l’ellipse et a les mêmes incon-véniens. Lors néanmoins qu’il s’agit de l’hyperbole équilatère ,qui est à l’égard des hyperboles ers général ce que le cercle est àl’ellipse , il y a un remède. C’est de chercher la longueur de l’arcpar l’équation de la courbe rapportée à son asymptote : carnommant (fìg- 4 ^) LA—<2, et C 8 —27, on a l’équationy — a g- f ce qui donne, d’après les opérations connues , la série

x - , a xi -O , &c. La loi est assez manifeste

3. 3. x ì 2.4.7. X 1 3.4,6.8.11.** »