DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Lxv. I. 161

Je devois nécessairement parler ici de ce travail , mais si degrands Géomètres , tels que ceux qui s’en sont occupés , nem en imposoient pas , je croirois pouvoir dire qu’il est beaucoupplus ingénieux qu’utile dans la réalité. Ce n’est , ce me semble,qu’avoir changé la difficulté en une autre égale ; car il est aussic ifficile et même plus dans bien des cas , de calculer un arcd'ellipse ou d hyperbole que de calculer la valeur de la diffé-rentielle proposée, en y employant le moyen utile des séries ;

on en a un exemple dans celle-ci , ; car la série à laquelle

r y i +xx 7

elle se réduit n’a pas plus de difficulté que celles du cercle ou del’hyperbole , puisque c’est la même , multipliée seulement par

"Vx , tandis que sa réduction à des arcs d’ellipse et d’hyper-boles exigeroit des calculs immenses. Je soumets, néanmoins,cette façon de penser à celle de nos grands géomètres.

Au surplus ceci nous conduit à parler par occasion de larectification de l’ellipse et de l’hyperbole , et peut-être ce quenous allons en dire ne paroîtra-t-il pas entièrement déplacé.

Quand on considère que l’ellipse est après le cercle la courbela plus familière dans la géométrie , on pourra s’étonner que sarectification n’ait pas occupé plutôt les Géomètres ; car on nedoit regarder que comme une idée peu heureuse celle de Kepler,qui faisoit sa circonférence moyenne entre les circonférences desdeux cercles concentriques décrits sur ses deux axes. L’erreur esténorme dans les ellipses fort allongées , d’ailleurs cette éva-luation n’est fondée sur rien. Le P. Guldin avoit, à la vérité ,calculé à la manière d’Archimede les cordes d’un polygone d’ungrand nombre de côtés dans une ellipse, dont les axes étoientdans le rapport de a à 1 , et par-là il déterminoit assez exac-tement la grandeur du contour de cette ellipse. Mais ce n’étoit làqu un cas très-particulier parmi une infinité d’autres.

Le calcul intégral donne, il est vrai, une série pour repré-senter indéfiniment l’arc d’ellipse, l’abscisse étant donnée ainsique la raison des axes. Tout le monde sait que a étant le grandaxe ; b le petit ; et l’abscisse prise du centre sur le grand axe

étant 27, la différentielle de l’arc est --«- é ma j s série

\r aa — xx

qui en résulte devient fort compliquée dans ses coéfficiens , dontla loi n’est nullement apparente. Car il a fallu d’abord réduire

1 / aa —(a 2 — 6 í ')x’ 1 en une série, et ensuite la diviser par celle résul-tante du développement de ~V «2 — xx. Dès les quatrième oucinquième termes , le calcul en devient presque inabordable ;et comme, à moins que x ne soit fort petit relativement a a yTome III. X