t)ES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 169affecté que de y ou de quelque fonction àe y sans x, commea y ; car alors on auroit eu pour la différentielle proposée ,_ 3 _

docVy — ’IÈL—adyV x — 2 ^-±aydy. Ainsi l’on eût trouvé,° o.\/y u 3*7

pour A, la même valeur que ci-dessus, et pour B , celle-ci :— jy ± ay ; car ay ne multipliant que dy , ne pouvoir

entrer parmi les termes qui multiplient dx. Mais dans B , xétant seule regardée comme variable, sa différentielle ne pou-voit différer de la première. Ainsi, l’intégrale de B dy , y étantseule variable , est xVy —> axTydz —, et l’on doit.ajouter à la

première ce dernier terme tout formé de y.

On eût tout aussitôt fait en intégrant, de prendre à part l’in-tégrale de aydy , en réservant les autres termes pour examinersi leur intégration pouvoit avoir lieu ; car l’intégrale d’une sommede différentielles est égale à la somme des intégrales de sesparties.

Mais il peut arriver , et sans doute il arrivera souvent, qu’ostne pourra satisfaire à ces premières conditions ; faut-il dans cècas prononcer que l’intégration est impossible : non ; il y aencore une ressource à tenter. C’est celle d’un facteur, entier ouíractionaire, qui multiplie la différentielle proposée, et qui puisséla rendre intégrable. En effet cette expression différentielle peutprovenir d’une fonction finie de variables égale à une quantitéconstante, ou lorsque, y ayant deux membres ou plus dans cettedifférentielle , ils se sont trouvés avoir un facteur ou un diviseurcommun. Car dans le premier cas le second membre de l’équa-tion différentielle étant égal à zéro , on a pu supprimer un déno-minateur ou un facteur sans troubler l’équation ; dans le secondon a pu également diviser l’nn et l’autre membre par le facteurcommun. Nous avons donné quelque peu plus haut un exemplede l’un et de l’autre cas. Mais c’est un des plus simples , et il enest de beaucoup plus compliqués où il n’est rien moins quefacile de 'reconnoître quel est ce facteur ou ce diviseur à res-tituer dans l’équation proposée pour la rendre intégrable.

C’est encore ici un de ces cas où l’on ne sauroit être conduitpar un procédé assuré, mais seulement par une certaine sagacitéque donne l’habitude de manier ce calcul. On tente un facteurque l’on juge pouvoir convenir ; ce qui conduit à de nouvelleséquations áe condition qu’il faut tâcher de remplir , ou quifont connoître si le facteur qu’on suppose propre à son objet ,1 est en effet. II est encore nécessaire de donner ici une idée deces nouvelles équations de condition.

Pour cet effet supposons ce facteur cherché être une fonction deTome III. L Y