j 7 o HISTOIRE

x, y et de constantes que nous nommerons F , et qu’il nousserve à multiplier la différentielle proposée , ensorte que nousayions ~FA-dx—YBdy. Pour que cette quantité soit intégrable ,il faudra par les mômes raisons que ci-dessus que la différen-tielle de FA , en y faisant varier y seulement, et divisant par dysoit la môme chose que celle de FB , en y faisant varier x seuleet divisant par dx ; c’est-à-dire , on aura cette équation decondition Aû?F -f VdA =. BdF -t- FífB ; et si l’on trouve une valeurde F qui satisfasse à cette équation , ce sera le facteur conve-nable pour rendre la différentielle proposée intégrable. II fautau surplus convenir que ce n’est pas une chose aisée que detrouver la forme de ce facteur, Clairaut dans le mémoire cité ,donne cependant pour cela quelques règles ; mais elles ne sontrien moins que générales , et de plus elles sont d’un usage em-barrassant. C’çst pourquoi nous croyons devoir renvoyer lelecteur à son mémoire.

Si la différentielle proposée étoit à trois variables , et que lestrois équations de condition qu’exige son intégration ne se véri-fiassent pas , on auroit également la ressource de tâcher detrouver un facteur commun qui rendit la proposée intégrableaprès avoir été multipliée par ce facteur. Mais alors il y auratrois équations de condition à remplir , comme celles-ci ;

hd F + FrfA , 8£F + WB. > AdF + FrfA CiF + FrfC . BrfF + F^B Ctf + FiC

s ■ dy dx * dx " * dx d\ *

11 est , au surplus , à propos d’observer d’abord que si deux deçes équations quelconques se vérifient, la troisième aura lieunécessairement. En effet, si A = B , et A = C , il faut néces-sairement que B soit = C , et vice versâ. Ainsi , deux quel-conques de ces équations nécessiteront la troisième. Mais s’ilest difficile de trouver le facteur commun dans le cas de deuxvariables seulement, on peut juger combien plus difficile il estde le trouver dans le cas de trois variables. Quoiqu’on aitpour cela quelques règles générales, on n’y parvient le plussouvent qu’après bien des tentatives laborieuses.

Si la différentielle proposée étoit entre quatre variables , il enrésulteroit six équations semblables de condition , avec cettelimitation cependant qu’il sufïiroit de satisfaire à quatre , lesdeux autres s’ensuivant nécessairement des premières. Cinq va-riables nécessiteroient dix équations de condition , dont sixnéanmoins suffiroient et ainsi de suite. Mais ce sont là des vé-rités qui sont presque de pure spéculation.

II est nécessaire de remarquer ici, avant que d’aller plus loin »qu’une équation différentielle à deux variables , a nécessairementune valeur, quoiqu’ii ne soit pas toujours possible de trouver son