i 7 8 HISTOIRE

Ce que l’on a fait sur les équations à trois termes indiquéesci-dessus , on l’a fait aussi sur celle à quatre termes , telle que lasuivante x’ n dxa r by ! 'x n dx-\-cy s dx-\-ady—o, à laquelle toutesles autres peuvent être réduites. Je veux dire qu’au défaut d’uneintégration absolue , dont elle n’est pas généralement suscep-tible , on a examiné les cas dans lesquels l’intégration ou dumoins la séparation des indéterminées peut avoir lieu. On doitprincipalement cet examen à M. Eernoulli. Elle sera susceptibleet de séparation des indéterminées , et de construction si elle esthomogène. Mais si elle ne l est pas, que doit-on en penser ? doit-on prononcer qu’elle n’est intégrable ni constructible en aucunemanière ? Non. II y a des cas , à la vérité , limités , où elleTest encore , et l’on y parvient par des transformations adroitesde l’une des deux indéterminées , aíin d’abaisser les puissancestrop élevées , ou élever celles qui ne le sont pas assez, pour quel’équation devienne homogène. On peut aussi, par une suppo-sition de nouvelles variables et de rapports de coefíiciens , faireévanouir certains termes, au moyen de quoi une équation àquatre termes se réduit à une de trois, ce qui en allège la diffi-culté. C’est par de semblables artifices que M. Goldbach , dontnous avons parlé plus haut (1), et M. Herman (2) , et enfinM. Nicolas Eernoulli ( 3 ), sont parvenus à réduire des équationsdifférentielles qui avoient jusqu’alors éludé les efforts des ana-lystes , et qui avoient passé pour irréductibles ; telles que celles-ci aydx -4- bx n dy -f cx n ~' dx = dy. ou adx -fi bdy + cxdxH- cydx -4- fxdy -4- gydy , ou ax m dx + byx T dx -t-, cydx= dy, &c. , et diverses autres du même genre. La premiere deces équations est même toujours intégrable en termes finis.Quant aux autres on a aujourd’hui des méthodes , à l aide des-quelles on parvient à déterminer l’espèce de transformation quidoit réussir ou faire reconnoître son impossibilité. On ne peutmieux faire que de recourir pour en prendre une idée au Traitédu calcid intégral de Bougainville (T. II), ou aux Elémensdu calcul intégral des PP. Leseur et Jacquier. , .

Quoique enfin, l’on n’ait point de méthode générale et infail-lible pour intégrer ou séparer les indéterminées dans les casautres que ceux que nous avons indiqués plus haut , il y acependant certaines formules, ou expressions très-générales danslesquelles réussit cette séparation. Les géomètres les ont remar-quées avec raison , et s’ils ne sont pas encore parvenus à saisirle tronc entier , du moins ils en embrassent quelques branchesconsidérables.

(1) Contm. acad. Petropolitanae. (r) Ibìd. tom. II.tom. I. (3) dbid. et passim.