DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 179

II y a , par exemple , encore une classe d’équations diffé-rentielles entre deux variables qui est susceptible d’intégration.Ce sont celles dans lesquelles il n’y a que des dx , dy , sansaucune des indéterminées même , 'ou au plus avec l’une desdeux, quelque soit le degré de multiplication entr’elles ; telleest celle-ci -.ydyï dx = adx*-+-zadx'dy' 1 -4-ady*, àa.ns laquelleil suffit de faire dx = , parce que c’est x qui manque ( ce

seroit dy qu’il íaudroit faire, si c’étoit y qui manquât ).

Car alors l’équation prend la forme d’une équation finie d’undegré quelconque , suivant la complication ou les puissancesoù dx , dy se trouvent élevées. Ici, par exemple, cette subs-titution réduit l’équation à celle-ci : y—^ q- 224- —, d'où l’ontire la valeur de dy — IL^-q- -xdz —Or on avoit íaìt^—dx,on aura donc enfin dx — -t- ——, dont l’intégrale est

*= 35 +?-l 0 g.*-»-C. ‘

Cette méthode, qui est je crois d’Euler , exige , comme onroit, qu’une des variables au moins soit absente de l’équation ,et jusqu’à d’Alembert on n’avoit pas trouvé le moyen de levercette difficulté. Mais elle a cédé à son analyse, et il a trouvéune méthode qui n’exige point qu’une des deux indéterminéesmanque , il faut seulement que les deux variables ne se multi-plient pas l’une l’autre. C’est au moyen de la résolution généralede cette équation x z=zy QZ-+- à.z , où f z et az sont des fonc-tions différentes de z, ou de et il y réduit une multitude

d autres équations différentielles. Mais ceci est trop compliquépour un ouvrage de la nature du nôtre, et nous nous bornerons àrenvoyer, soit aux Mémoires mêmes de ce célèbre géomètre,qui se trouvent dans le Recueil de Berlin ( année 1748 ), soità l’ouvrage de Bougainville, qui en contient le précis.

Parmi les inventions presque sans nombre dont d’Alembert aenrichi ce calcul, on doit encore ranger sa méthode <f intégrerà la fois plusieurs équations différentielles entre plusieurs varia*blés. On en a un exemple dans ces deux-ci :

dx -4- ( C x -f- D y ) dt — odx q- ( K.x -q- E^y ) dt = o

dans lesquelles il est question de trouver le rapport de x et y en t.( Les lettres C; D; K; L , sont des constantes ). D’Alemberta ete conduit par ses recherches sur la cause générale des vents,

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