184 histoire

ìa suite de la note où nous expliquons celui employé par JacquesBernoulli.

Après cette équation , celle qui se présente la première enordre de difficultés (et toujours entre deux variables seulement),

est celle-ci : A dy -t- B ^ C ^ -t- X = o. M. d’Alembert nous

paroît le premier qui en ait donné la solution en 1747 , dansses Réflexions sur la cause générale des vents , et dans lesMémoires de l’académie de Berlin (année 1748 ). Le célèbreEuler a aussi donné pour cet effet une méthode dans ses Ins-titutìones calculi integralis. II est même parvenu à trouverles moyens d’intégrer celles du troisième degré et des degrésultérieurs , lorsque cela est possible ; et enfin, à résoudre Inéqua-tion générale.... -+-X = o. II en donna le moyen

dans le septième tome des Miscell. Berolinensia, II se sertà cet effet de la substitution adroite de la quantité exponen-tielle Ad x ( où c est la quantité dont le logarithme est égalà 1 ), et de ses différentielles successives, au lieu de y , cly ,ddy , &c. ; cette substitution transforme l’équation proposéeen une autre , qui devient une simple équation finie, telle que{ 1 -\-bf-\-af-') —o , lorsque n=. 2., ou 1 ~h cf-\-bf*-\- af) =0 ,bi n — 3 , &c. Ayant donc trouvé les différentes valeurs de fsuivant le degré de l’équation , et mettant ces différentes va-leurs au lieu de f, dans A c fx , on aura autant de valeurs dey , puisque y = Ac^; et ces différentes valeurs jointes ensemble,donneront l’intégrale complète de l’équation proposée. Il y a ,à la vérité , ici quelques cas qui pourroient embarrasser, savoirquand quelques unes des valeurs de f sont, ou égales, ou ima-ginaires ; mais Euler résout ces difficultés.

Euler avoit d'abord été arrêté par la limitation que X futégal à zéro ; mais dans la suite , il surmonta cette difficulté :et perfectionnant sa méthode , il montra , dans les nouveauxMémoires de Pétersbourg , comment on pouvoit résoudre com-plètement l’équation ci-dessus, X étant une fonction quelconquede œ ; mais la méthode est trop compliquée , quoique sûre etcomplète, pour en pouvoir donner ici même une esquisse. Nousne devons pas omettre que d’Alembert concourt ici avec Eulerdans la résolution de ce cas , qui avoit jusques-là arrêté tousles analystes. Il a donné pour cela une méthode qui a mêmequelques avantages sur celle de Euler. On peut voir Imposi-tion de l une et de l’autre dans le Traité du calcul intégralde Bougainville , tome II.

Il restoit cependant à résoudre l’équation dont on vient deparler, sans la première des limitations qu’on a vues plus haut :

savoiì*