DES MATHEMATIQUES. Part. V. Lit. I. i83d'-y, dx z dy , dxddy , dx'\ La raison en est sensible , car il estaisé de voir que ce sont là des grandeurs du même ordre, et sidans une équation différentielle il y en avoit d’ordres différons,les plus basses seroient négìigibles à l’égard des autres. Quantaux coefficiens finis qui affectent ces différentielles , ils peuventêtre tels qu’on voudra.

II est d’abord parmi ces équations une classe à laquelle on adonné le nom de Linéaires , et qui a beaucoup occupé les géo-mètres. Ces équations différentielles sont celles où une des dif-férentielles , comme dx , étant supposée constante, aucune desautres variables comme y, z, &c. et de leurs différentielles nepasse la première dimension ; telles sont celles auxquelles on

peut donner cette forme A y ± B ^ rb X = o -, A y +-B^+C0

+ .+H^ + ï = o. On suppose au reste que

A, B, C , & c. X ne sont des fonctions que de x et de cons-tantes , ce qui n’exclut pas les cas où ces quantités seroient desconstantes ou o. On donne à ces équations le nom de linéaires,parce que leur forme est évidemment analogue à celle deséquations qui expriment des lignes courbes.

On divise aussi ces équations en différons ordres, dont le

premier est celui où ne se trouve que j- x i second , où se

trouve ^, &c. On peut aussi supposer un plus grand nombre

de variables que deux, comme x , y , z , ce qui arrive assezsouvent , et alors l’équation différentielle linéaire du premier

degré seroit celle où n’entreroient que j- x 7 ^, &c. ; mais alors

d faut, comme on le verra dans la suite pour leur résolution,C est à-dire pour trouver le rapport de ces variables entr’elles,plusieurs équations du même ordre , deux , par exemple , pourtrois variables, trois pour quatre, &c.

L’équation différentielle du premier ordre entre deux variables

Ay -+- B ^ -t- X=:o n’appartient qu’aux différentielles simples,

et a été résolue par Jacques Bernoulli le premier ; car cetteéquation, en multipliant tout par dx , se réduit à la forme decelle que nous avons rapportée dans l’article précédent, et serésout par une simple substitution du ux à y. Mais le moyenle plus général et qui s upplique à tous les autres ordres deséquations de ce genre , est de multiplier cette équation par unefonction indéterminée de x qui la rende intégrable , et l’onpeut toujours en trouver une. Nous nous bornerons cependantici à cette indication , en renvoyant l’exposé de ce moyen à