DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. aò3

cette expression S,

dxV' i

V' i — ■

qui est celle d’un arc d’ellipse,

dont le demi-grand axe est 1 , et le demi-petit axe ~ ( l'abscissepartant du centre ) , peut être regardée comme une aire

S. adx ^ l _ _t x %, en supposant a = 1. On aura donc la longueur

de Parc d’ellipse répondant à l'abscisse x ( pourvu qu’elle nesoit pas trop approchante de l’unité ) , en la divisant en plusieursparties et calculant successivement l’expression ci-dessus pourles diverses longueurs de x.

L’utilité d’avoir la longueur d’un arc d’eîlipse dans bien descas, nous engage a donner un exemple de ce calcul. Soit doncsupposée une ellipse dont les deux axes sontl’unàl’autre,comme1 à £, le grand axe étant l’unité : c’est un des cas où la série quedonne le calcul intégral est la moins convergente, à moins quel’abscisse ne soit extrêmement petite. Supposons donc ici cetteabscisse égale aux j de Taxe et qu’elle soit divisée en quatreparties égales ; en sorte que chacune soit égale à ~ du grand axe ;on aura par un calcul facile les valeurs de l’expression ci-dessus ,en y supposant successivement x := o ; = f ; .r = y ; j ; -y, et

l’on aura d’abord la première = i. oooooo ; la seconde =x. 005191 ; la troisième i. o 235 io 5; la quatrième ì. o 68 g'òi ; lacinquième 1.086286; ce qui donnera la somme de A -J- /fB + 2C-f- 4D -f E = 12. \% 0 jgS ; et multipliant cette somme parl’intervalle des ordonnées , qui est ~ ; ensuite prenant le tiersdu produit, c’est-à-dire en divisant par quinze, on a enfin pourl’arc d’ellipse approché dont il est ici question, o. 828262. Sil’on considère la complication considérable des coefficiens dechaque terme que donne la série pour le même arc, déduite dela méthode ordinaire du calcul intégral, on n’aura pas de peineà se persuader que cette méthode indirecte est fort préférablepour la brièveté à la méthode directe.

Quant à l'ellipse entière, cette méthode n’est pas applicableà la déterminer , parce que la courbe des ordonnées représen-

sentées par ^_■== = est asymptotique ; car si on fait x=t , on

a une ordonnée infinie. Mais on a trouvé, pour le quart d’ellipseentier, une autre série moins compliquée , qu’il n’est pas inutilede faire connoître ; c’est celle-ci :

Le demi grand axe étant toujours supposé l’unité, et le demipetit axe moindre que l’unité , comme aussi sc — au quarré dudemi grand axe moins celui du demi petit axe, ou au quarréde la distance du foyer au centre , si n représente le quart de

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