202 HISTOIRE

assez voisines A a, B b, C c. Par les points a et c soit tirée lacorde ac, et par le sommet b de la seconde ordonnée la parallèleS b T qui sera tangente à la courbe. Cela supposé, on aura ,puisque Parc ac est supposé parabolique, le petit espace hors lacourbe ST cba la moitié du segment compris dans la courbe ,car ce petit segment est les deux tiers du parallélogramme SacT.Mais l’espace total Sgzc-T est égal a Bûx 2AB; et le trapèse

AacC est = Aa-^-Cc x AB. Or la première de ces quantités surpassePaire curviligne, de la moitié de ce dont cette aire surpasse ladernière; d’où il suit que le double de la première ajouté à ladernière est égale au double de la moyenne, ou de Paire cur-viligne cherchée; ce qui donne cette aire égale à^ +4B ^ +Cc xAB,

Si l’on a deux autres ordonnées équi-distantes Dr/, E<?, on

trouvera de même l’espace CcéE — - + 4 ^ + . E . e x CD ou AB j

conséquemment Paire AagE sera A ‘ , ~t~ 4 ? 6 ~ l "^ + 4D ‘ í ' 1 ' E ‘ x AB.

S’il y en avoit sept, on auroit - + 4&b + ìCc + + zEe + G? x AB,

d’où il suit qu’il faut faire la somme de la première et la der-nière, de quatre fois la seconde, quatre fois la quatrième, quatrefois la sixième, deux fois la troisième et deux fois la cinquième ;le tout étant multiplié par AB et divisé par 3 , sera Pairecherchée.

Soit pour en donner un exemple (Jìg- 5 i ) le quart de cercleAFa , dont le rayon AF soit = 8; que sa moitié soit divisée enquatre parties égales, pour avoir au moins cinq ordonnées, A a,

B b, &c. ; la première A a sera 8 ; la seconde B8 =K 63 = 7.98726 ;

la troisième =zV 60 = 7. 745 96 ; la quatrième V 65 =7.41619 ; la

cinquième = ^4^ — 6. 92820. Ces valeurs, substituées dansl’expression ci-dessus pour cinq ordonnées, donneront 30.61129,dont ôtant le triangle AE<? = i 3 . 86640 , restera le secteurA«s = 16.76489 , lequel étant triplé, donnera le quart decercle entier au rayon 8, égal à 60. 26467. Et si nous réduisonscette valeur à celle du quart de cercle au rayon = 1 , c’est-à-direen la divisant par 64 , nous aurons o. 78668 ; ce qui est con-forme aux approximations connues jusqu’à la cinquième dé-cimale inclusivement.

11 n’est presque point de courbe algébrique, qui se refuse à cemoyen de mesurer son aire par approximation, et il est évidentqu’on peut l’appliquer à la rectiiication des courbes. Car l’ex-pression qui désigne la valeur d’un arc de courbe, se réduittoujours à une aire divisée par une quantité donnée. Ainsi