2, î o HISTOIRE

Si de A j’ôte la même somme tronquée de son premier terme de

cette manière :

l +

+ 7

&c.

&c.

on aura y-y -t- yy -t- —i- ■ -+- ~j &c. — A — B. MaisB = A— i ; conséquemment ce reste sera = I. Ainsi la sérieci-dessus , ou &c. à l’infini , est

égale à l’unité ; ce qu’on trouve aussi par d’autres voiesdirectes.

Donnons encore un exemple de ce procédé : que de la sérieA =r -+- ~ -t- ~ &c. on ôte la même somme tronquée de sesdeux premiers termes et conséquemment moindre de ì -f-y ou | ,on aura -j— y— -+- yfy H— —^ - 4 — -^77 ~6^8" & c - » conséquemmentégale a f. C’est-à-dire que 7 4- i -t- 77 ^ 4- ^ &c., qui est

l’unité divisé par tous les quarrés ( à commencer de 4 )diminués de l’unité, yb 4- -H 4- 7^77 ■+* &C. est

égale à

On pourroit de même retrancher de cette série égale à ^ ,la même tronquée de son premier terme et conséquemmentégale à^y, on auroit celle-ci égale à { — ~ ou a j, savoir

— 5 — _j- 1 —. _i_ —12- &c ou —_!_-—1_ -—h 1 &c. où la

a.3. 4 - a- 3 - 4 - 5 • “ 2.3.4.S- 6 - UU 24 ^ 120 ^ 720- " 5040

progression, tant des numérateurs que des dénominateurs, estsuffisamment apparente ; mais en voilà assez sur cette manièrede trouver des séries sommables. Quelque chose de plus im-portant est de remonter d’une série donnée à sa somme ab-solue, si elle est possible , ou à sa somme seulement approchée,si on ne peut faire autrement ; il y a pour cela des méthodes dontnous parlerons dans la suite de cet article.

Ce qui s’étoit passé vers 1690 entre les deux illustres frèresJacques et Jean Bernoulli, se renouvella en quelque sorte vers1712, entre MM. Nicolas Bernoulli et de Montmort. Leur cor-respondance sur des sujets tenans à la théorie des probabilités lesconduisit à approfondir celle de la sommation des séries; carplusieurs des problèmes de ce genre cenduisent à de pareillesexpressions. M. de Montmort, nécessité panses recherches surdivers problèmes de la théorie des probabilités, avoit déjà trouvéquelques artifices particuliers pour sommer des séries quin’avoient point encore été considérées. Quand je dis sommer ,j’entends ici trouver la somme de tant de termes qu’on voudrad’une série proposée, comme si l’on avoit celle-ci 1. 3. 4 .-+-