2.1 6 HISTOIRE

propriétés; celle-ci, par exemple, que si l’on prend trois termesconsécutifs, le quarré de celui du milieu est alternativement plusgrand ou moindre de l’uniîé que le produit des extrêmes ; ce quia lien aussi, loraqu’on prend quatre termes consécutifs, à l’égarddu produit des moyens et des extrêmes ; je passe sur quelquesautres remarques de ce genre. Mais Cassini ne paroît pas avoireu l’idée de rechercher, ni la sommation, ni le terme généralde cette série, problèmes qui sont les premiers qui se présententlorsqu’il est question de progression. Il dit avoir fait quelqueapplication de cette considération a l’astronomie; mais on nevolt point dans l’histoire de l’académie, citée plus haut, en quoielle consìstoit.

Avant d’entrer dans des détails d’une théorie plus approfondiede ces sortes de séries, il faut faire connoître quelques-unes desvérités que Moivre démontrer t à leur sujet. Il fait voir, parexemple, que si l’on a une série ou progression géométrique,qui est évidemment une des récurrentes et des plus simples ,puisque chaque terme dépend de celui qui le précède immé-diatement, on peut trouver une échelle de relation qui donnechaque terme par deux, par trois , par quatre &c. des précédens.II montre encore que si l’on a deux progressions géométriquesdans l’une desqueiles la relation d’un terme quelconque au pré-cédent soit celle de m à ì ; et dans l'autre de n à i, qu’on ajouteensuite les termes correspondans, c’est-à-dire de même dimen-sion , des deux séries , il en résultera une nouvelle série récurrentedont l’échelle de relation sera donnée par les cieux termes pré-cédens , et sera m -h n -4- mn. Par exemple les termes de la pre-mière étant A, B , C , D &c. Ceux de la seconde L, M, N, O : onaura pour nouvelle série A -t- L ; B M ; C -t- N ; D H- O &c.

et C -+- N — /ra -+- « x B M, -+• mn x A -+• L ; et si l’on a troisprogressions géométriques d’exposaus différons, m. n.p. ajoutéesde cette manière, la nouvelle série ou progression sera encorerécurrente et aura une échelle fermée de ces trois exposans en

cette sorte : m -h- n -+- p A. 4 - mn -t- mp -+- np B -+- mnp C j ici Aest le terme immédiatement précédent, B l’anteprecedent, et C leplus éloigné. La loi de la progression des termes de cette échellede relation est facile à saisir.

Delà suit une vérité fort curieuse et intéressante de cettethéorie, savoir que toute série récurrente, dont l’échelle derelation est composée de deux termes, est divisible en deux sériesgéométriques; une dont l’échelle de relation est de trois termes,sera divisible en trois séries géométriques : car, par exemple,da us le premier cas l’échelle de relation de la série donnée étantr A-w B ( A étant Le terme le plus voisin, et B le précédent)

on