DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Lxv. I. 215Ce savant géomètre y fut conduit par ses recherches sur le calculdes probabilités. II en lit ensuite une partie de son traité intitulé :Miscellanca analytica deseriebus et quadraturis ( Lond. 1 y'òoin- 4 °.) ; ouvrage plein de spéculations et de recherches ingénieuseset profondes sur toutes les parties de l’analyse.
On appelle, depuis Moivre, Série récurrente celle dans la-quelle chaque terme est déterminé par une relation constante ,avec un, ou deux, ou trois &c. de ceux qui le précèdent immé-diatement. Dans la suite ou progression géométrique, cette re-lation n'est, à proprement parler, qu’entre chaque terme et sonprécédent: je dis à proprement parler, parce que c’est la plusapparente ; car Moivre fait voir qu’on y peut établir une échellede relation avec tant de termes antérieurs qu’on voudra. Maisdans une série récurrente chaque terme est donné d une manièreconstante par les deux ou les trois, ou les quatre précédons &c.
A B C D E
Telle est cette série 1 -4-2-4-5-t-i2-4-2p &c., dans laquelle lesdeux premiers termes étant 1 et 2 , le troisième est égal à deuxfois le second plus une lois le premier, le quatrième égal à deuxfois le troisième plus une fois le second, et ainsi de suite. AinsiC = 2B + A ; D — 2C -l- B ; E — 2D -4- C âc c., ou plus géné-
A B C O E
râlement soit la série 1 -4- 227 -4- ‘òxx -4- 1027 3 -4- ’ò/^x 4 danslaquelle D=3C.r— 2B xx -4- óA x ' 1 ; E= 3E>27— 2C27 2 -4- 5B.27 3 ;E — 3E.u — 2D xx -+- 5C22&C. L’échelle de relation ou l’é-quation servant à établir chaque terme par les précédons, seraici 3 a? — 22727 -t- 5 x } , ou pins simplement 3 —2 -4-5; ce quisignifie que le terme précédent doit être multiplié par 3 et par 27,le second par 2 et xx, et le troisième par 5 et x\ On peutformer cette échelle de relation à volonté , prenant aussi à vo-lonté les deux premiers termes , si la relation ne comprend queles deux précédens, ou les trois premiers, si Féchelle de relationen comprend autant &c. Et l’on aura une infinité de séries dela nature de celles que Moivre a appelé récurrentes. Ce genrede série se présente souvent dans diverses théories mathéma-tiques et spécialement dáns celle des probabilités, ou du calculdes hasards. On fait ici cette observation , pour répondred’avance à la question qu’on pourroit faire sur futilité de cettespéculation.
11 n’est pas entièrement hors de propos d’observer ici queJ- D. Cassini a volt, dès 1682 , considéré une série de cette® s pèce : c’est celle dans laquelle chaque terme est formé par
a ddition des deux précédens, comme celle ci 1.1.2. 3.5. 8. i3 <3cc.c l u . 1 e . st une des plus simples de ce genre, et dont l'échelle dere atl ° n est 1 -4- 1. Mais Cassini se borne à en remarquer quelques