228 HISTOIRE

forme (1) par une substitution adroite en une autre d’égale

valeur et de cette forme, savoir celle-ci S = ~a+~Aa

AAa ■+■ r=r AAAa, &c. Ces expressions A a , A A a ,

A A Zro. représentent successivement , savoir : , la pre-

mière des premières différences de a > b , c , d •, A A a , la pre-mière des secondes différences; AAAa, la première des troi-sièmes , &c. , en faisant attention que le premier terme doittoujours se soustraire du suivant ; en sorte que si ce dernierétoit, ce qui peut arriver, moindre , la-différence devroit êtreaffectée du signe —.

Delà il suit, ce qu’on a déjà vu plus haut, mais qui est icidémontré plus directement , que si les corfficiens a, b, c, d, &c.de la première série sont tels que quelque quantième de leursdifférences , ou différences de différences , s’anéantisse , laseconde série se terminera ; cette différence, ou différence dedifférence A n . a devenant zéro. On aura donc S ou la sommetotale de la première série prolongée à f infini, égale à la sommedes termes subsistans dans la seconde.

Ainsi en supposant la série x -+- 2.2? 1 -t- 3 a.'* -+- 4 x* & c. où lescoeffìciens a, b, c, d, &c. sont 1,2, 3 ,4 &c. dont les pre-mières différences sont 1, 1, 1, 1 &cc. et conséquemment les

secondes = zéro, la suite se réduira an premier terme a. Si

donc x — 1 ; ce qui donnera alors la suite naturelle des nombres

-t -5 &c. on aura ^- x a — -d—^a^z l -a , ce qui

est une quantité infinie ; telle est en effet la somme de la suitedes nombres naturels.

Mais si nous supposions ici, par exemple, x — ~, alors onauroit ax -+■ bx 1 -+- ex 3 & c. = j+Ì + { + -^ -f- £ &c., et la

somme S ———^4 —~ Aa seroit (à cause que A a=i) — =r 2 —f.

1 ~-'* I X I —* —

= 2. On a donc par cette formule le moyen de sommer toutesles progressions décroissantes dont les dénominateurs seroienten progression géométrique, et les numérateurs dans une pro-gression quelconque, telle qu r un ordre de différences de cesnumérateurs devint egal à zéro, ce qui a lieu dans ces pro-gressions 1 3 , 5 , 7, &c., et dans celles de tous les nombresfigurés, triangulaires, quarres, pentagones, pyramidaux Scc,Ainsi l'on trouve la somme &c. = 1 ; car ici

(1) Institut calculi di/ferentialis, p, 282..,