DES MATHÉMATIQUES.- Fart. V. Liv. I. 229on a x = ~, a= 1 et a« — 2. ; ce qui donne pour l’expressionréduite de la somme Ër=- 3 = 1.

On trouvera de même la série ~ -h£ -t- ^ -H ff &c. r=|. Carl’expression de la somme sera formée de trois termes seulement,parce que les troisièmes différences s’évanouissent et ces trois

termes se réduisent a \ ou faisant x — y on a la somme ci-

1 - X

dessus. II est inutile d’en donner d’autres exemples ; le lecteurpourra se les proposer lui-tnême.

Lorsque x— 1, la somme est ascendante et se trouve néces-sairement infinie ; mais en quel pie sorte de différens degrésd’inlinités ; car 1 — x est toujours zéro. Ainsi dans le cas où l’on

auroit 1 -t- 1 -+- 1 1 &c. la sommepf^=^ ; mais si l’on avoit la

suite des nombres naturels, la somme seroit composée de deux:termes et se réduiroit à -—--=^7= ct 2 & c. ; la somme des quarrés

1-4-4. -f-n-t-16, &c. seroit=~r, = L= cc 3 , &c.

“ ' I — ï 0

On peut enfin donner a x toutes sortes de valeurs, ce quifournira des séries sans nombre ressortissantes de cette méthode.II faut cependant remarquer que pour qu’elle réussisse, x doitêtre prise moindre que l’unité , car il est aisé de voir que, commedans le dénominateur de la fraction qui exprime la somme entre

l’expression 1 — x élevée à une puissance quelconque, si m = icette expression sera o et conséquemment la fraction sera infi-niment grande. 11 y a au surplus d’autres méthodes non sujettes àcet inconvénient.

II est maintenant à propos de faire voir comment cette mé-thode s’applique encore aux suites dont les termes sont alter-nativement positifs et négatifs.

Soit une pareille série, par exemple, 1 —4-4-9— 16-h 25 &CC.on pourroit la considérer comme la différence de ces deux f1 -f_ 9 -4- <2.5 -4- 49 4- fi 1 et 4 -I- 16-+- 36 -t- 64, où les secondes'différences sont constantes. Mais on peut y arriver tout d uncoup par le moyen suivant.

Dans la série ax -+- bic* -+- cx } -H dx* Sec. si l’on fait x né-gatif et = — 1 , et a, b, c, d, e, & c =1,4,9, l6 > 2 5 kc.on aura — 1 -H 4 — 9 -H ' 6 — 26 , ce qui est — (1 — 4 -h 9— 16 + 2Ó &c. ) : or si d’après cette supposition nous cherchonsla somme de ax -h bx* -h cm 3 &c. par la méthode ci dessus nous

trouverons pour la valeur totale -—— Mais ici x =— 1, ce quiréduit cette expression à ceci ==5,= oj conséquence, pour 1&