DES MATHEMATIQUES. Part. V. Liv. I. a3 aexactement par une puissance semblable de la demie circon-férence, divisée par un nombre exact, au lieu que ce diviseurdans le cas des puissances paires n'est qu’approximé.
Euler va plus loin j il trouve de même les sommes de pareillesséries où les dénominateurs sont les puissances des nombresimpairs seulement, comme celle-ci en général n-d--)--L& c .
car si n est = x, la série est II ou infinie. Si « est 2 , la somme de1 -4-'^ -t- &c. est 51; et les autres successivement, en sup-
posant n = 3, 4,5, à. sont respectivement 5 3 15, &c. Je,nedis rien de la sommation de nombre d’autres séries qui ont despropriétés très-singulières , comme de ne contenir dans leursdénominateurs que les nombres premiers , ou dont sont excluscertains nombres , ou dont la marche des signes -t- et — estirrégulière comme dans certaines , où deux ou trois termes desuite ont le signe -+-, et ensuite viennent un ou plusieurs termesnégatifs , &c. On ne sauroit trop admirer la sagacité qui a présidéà ces recherches , et il y auroit encore bien des remarques àfaire ; mais nous ne pouvons indiquer ici que les résultatsprincipaux.
La recherche du terme général d’une série est un des prin-cipaux problèmes qui se présentent dans cette théorie, et c’estaussi un de ceux qui ont principalement occupé les analystes.Nous en avons déjà parlé à l’occasion des séries récurrentes oùil est toujours possible de l'assigner et d’après lui la sommation,de la série, mais il n’en est pas ainsi dans toutes les espècesde séries. II faut à cet égard en distinguer deux. La premièreest celle des séries dans lesquelles prenant les différences destermes (en soustrayant toujours l'antérieur du suivant) ou lesdifférences de différences , &c. un ordre quelconque de ces dif-férences est enfin zéro. Dans ces séries on peut toujours trouverle terme général; et en supposant que ce soit l’ordre m dedifférences qui s’évanouisse, le terme général que nous nomme-rons T est = A 7i m ■+■ B n m ~' -+- C « ro_i ■+- &c. •+- R. Ici n exprimele quantième du terme cherché dans la série. Les coefficiensA, B, C, &c. et R sont des quantités constantes qu’on déter-minera facilement; en effet puisque cette expression est cellede tout terme de la série, elle doit donner le premier terme enfaisant n — 1 , le second en faisant n = 2 &c. Ainsi en supposant«= 3 on aura seulement trois équations, comparables avecles á premiers termes de la série ; ce qui suffira pour déterminer,A, B et C : quant au dernier terme R, qui sera une constante aajouter on la déterminera comme dans le calcul intégral par laconsidération de quelque cas particulier.
Tome IIL. G g