232 HISTOIRE

Ces conséquences n’étonneront probablement pas, mais ce quïparoîtra peut-être un paradoxe c’est le résultat des recherches deEuler sur cette série singulière (trouvée pour la première fois parWallis dans ses recherches sur les interpolations et qu’il appelle. hypergéométrique , C’est celle-ci : 1—2+6—24+120—720+6040 &c.S’il est quelque série qui paroisse devoir être infinie c’est sansdoute celle-là, vu la rapidité avec laquelle croissent ses termes.Euler trouve néanmoins par diverses méthodes que cettesomme , en l’entendant comme ci-dessus, n’est par approximationque 0.596:1473621237.

Il est un autre genre de séries dont Euler s’est beaucoupoccupé; c’est celui dont Wàllisa donné le premier exemple enréduisant le rapport du cercle au quarré du diamètre au produitcontinu et infiniment prolongé de ces fractions, n r \. &c.Euler fait voir comment une série de la forme ordinaire peutêtre transformée en une de la forme Wallisienne et il en tire unefoule de conséquences remarquables , spécialement la sommationde séries qui avoient jusqu’alors éludé les efforts des analystes;ce sont celles qui sont formées de fractions dont le numérateurétant l’unité, les dénominateurs sont les nombres naturels élevésaux différentes puissances entières , quarré , cube &c. Uned’entr’elles sur-tout avoit fait le désespoir des analystes, savoircelle-ci i-t-j-t-j-t-fj-t-rT-Hyé êcc. Jacques et Jean Bernoulliy avoient usé leurs forces ; et jusqu’en 1740, Euler lui même n’endonnoit la solution que par une méthode qu’il avoit imaginéepour hâter la convergente d’une série. Nous en parlerons dans1 a suite de cet article. Ici Euler est plus heureux, non-seulementà l’égard de cette série, mais de toutes ses semblables exprimées

généralement par 1 4-J; 4-^ 4-h. U trouve, au moyen de cette

transformation des séries ordinaires en produits de facteurs ,ou de ceux ci en séries ordinaires , que la série générale ci-dessus,quelque soit n , est toujours égale à une puissance n de la demiecirconférence du cercle n ( ie rayon etant 1 unité ), divisée parcertaine fraction. Ainsi l’on a :

1 ~t~ + -4— + H—f- &C.

_n_22.

n 2

1 /+" 4 +* 9 Tê 5 T

N'

1 4- -g 4-^4" n 4- rrr

25.79436*

I -+-TT+" iÌH-rh à.

— — &c, 5cc.

90

Si nous avions poussé plus loin cette énumération, l'on re-marqueroit que les séries de puissances paires sont déterminées

exactement