DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. E *35général= S' — S. Mais en voilà assez, et peut-être trop, surce sujet, vu la nature de cet ouvrage.

Euler s’est en particulier donné beaucoup de soin à rechercherdes moyens de trouver, au moins par approximation, la som-mation des séries peu convergentes, et dont on sait ou dont ona raison de croire que la somme finie ne peut être trouvée. II endonne plusieurs dans le tome \TII des anciens mémoires dePétersbourg. Un de ces moyens consiste à considérer les termesd une série décroissante comme les ordonnées d’une courbe quisera asymptotique puisque ces termes sont supposés devenirmoindres que toute quantité donnée; et de cette considération,ainsi que de quelques, autres subsidiaires, il tire une formulequi donne tout-à-còup la somme fort approchée de plusieursmilliers de termes., comme de 10000, 100000 &c. Mais pourapprocher plus rapidement de_ la vérité , il faut ajouter ac-tuellement un petit nombre de termes du commencement, commedix, douze, ou davantage. Ainsi dans la série 1 —- y + t— f+y&c.qui exprime Tare de cercle de 45 °, le rayon étant Tunifé, les12 premiers termes donnent d’abord o. 764,600,626 et la formulede supplément donne 0. 020,797,431s, ensorte que la sommetotale est 7.86398114, ce qui est exact jusqu’à la 7 e . décimaleinclusivement.

On trouve de même dans cette série, 1 -t- y -i- -5- -t- rg & c * T 16les dix premiers termes font 1. 640,667,781 , après quoi em-ployant la formule en question , on a pour supplémento. oo 6 ,i 66 , 335 , ensorte que la série totale est 1. 646,673,066,l’erreur n’étant que dans la 8 e . décimale. Mais cette méthoden est malheureusement applicable qu'à des séries dont le termegénéral peut être assigné, parce que la formule dont il s’agitrenferme l’expression de ce terme très-éloigné que nous avonsdit. On peut au surplus recourir aux divers mémoires de ce savantgéomètre, et qui sont insérés dans les différens volumes del’académie de Petersbourg.

M. Euler employé encore d’autres moyens pour déterminerdes séries qui soyent susceptibles de sommation absolue. Qu onait, par exemple, une série dont on connoisse déjà la somme,celle-ci : 1 x x 1 -t- x J -t- x 4 &C. , qui provient du dé-veloppement de cette expression -j si pít différencie lune etl’autre on aura — dx -t- xxdx ■+■ 3 x'dx &c. Qu on divise

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uiaintenaínt par dbc , op. aura ~-~ — l ■+• 3 a? -t- 4 a;3 *

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expression dans laquelle, en donnant à x toutes les valeurs qu onvoudra, on aura autant de séries égales à une valeur deter-

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