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minée, savoir celle qui résultera de en V mettant au lieu de x

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]a même valeur que dans la série.

On pourra même encore différencier ces expressions , et

divisant de nouveau par dx on aura 2x(i + 3.r-t- (ìx 1

*+■ ìoéc 3 &c. ) dont on pourroit encore tirer autant de sériessusceptibles de sommation jusques à un terme déterminé, si xest l’unité ou un nombre plus grand , ou susceptibles de som-mation absolue, si x est une fraction. Car supposons x = jcette série deviendra x il & c . = 8 ; ce

qu’on eut pû trouver par la méthode précédente : car cette sériea ses dénominateurs en progression géométrique, et ses numé-rateurs croissent comme, les nombres triangulaires. Mais nouspassons pour abréger mille autres objets intéressans que présentecette partie de l’ouvrage d’Euler.

, Un des caractères qui distinguent spécialement les sériesétant celui d’avoir une somme finie ou infinie, c’est-à-dire unelimite ou aucune, il est intéressant dans cette théorie d’avòîr unmoyen de le reconnoître :,car on sait que la série x -p^ + ^-f^&c.,quoique tous ses termes aillent en décroissant, donne unè sommeplus grande que tout nombre fini. Mille autres séries, quoiqueaussi décroissantes, peuvent donc être dans le même cas , tandisqu’il est certain qu’il y en a une infinité dont la somme est finie jcelle-ci, par exemple , i + j +&c., dont la sommen’estque 2 . A quel signe reÇonnoîtra-t-on si une série a une sommefinie ou infinie ?

Evier a résolu ce problème , mais d’une manière qui n’aurapeut-être pas l’assentiinent de tous les lecteurs. Une série, dit-il, (i) aura une somme finie, lorsqu’étant prolongée au de làde Pinfini, ce qui en résulte n’y ajoute rien ; et au contraire elleaura une somme infinie, si étaut prolongée au de là de Pinfini,il en résulte une addition à faire à la série.

On se demandera sans doute ce que l’on peut entendre parune quantité prolongée au de là de l’infini. Cela est néanmoinsanalytiquement vrai ; car l’esprit géométrique semble n’être* arrêté par aucunes bornes, pas même celles de l’infini, et Eulerdonne des exemples de son assertion paradoxale ; mais il seroittrop prolixe de le suivre dans son analyse, pour ainsi dire ,hy p er-1 r an scen d ante.

Máèlaurin a donné dans son Traité des fluxions , un moyen ,à notre avis, plus simple et moins sujet à exception , pourparvenir au même but. Nous allons le développer.

(ì) De progress, harmQnicis observation.es, Comment, Acad. Petrop. ». VIIï.