DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 249Prenons maintenant une série décroissante comme celle-ci :-f- ~ -t- jA Scc. II faut ici considérer la série comme

renversée et croissante de son extrémité, où elle se termine parzéro, vers son commencement. Ainsi le terme — ou —h— est

" I. Z X» X I

la différence de la somme entière commençant par o , ou le

dernier terme jusques et inclusivement le terme qui suit - x J ■,

Ainsi prenant , suivant le précepte de la méthode , l’intégrale

de —h—, qui est -, on aura la somme de toute la série , à

commencer par le second terme x J ■ ■ . Or x est ici — 2 ; donc

toute la somme de la série ci-dessus, moins le premier terme,est = A ; et si on y joint ce premier terme, qui est A, la sommetotale sera = 1.

On pourroit par une semblable méthode trouver la sommede la série, à partir de tel terme qu’on voudroit, comme dudixième ; car ce dixième sera , 0 *, 0 ^ T , dont l’intégrale estToute la série en commençant par le dixième sera donc -A- ,et en effet les neufs termes précédens font -I ; ce qui vérifiel’opération, la somme totale ayant été trouvée — 1.

Remarquons ici, que dans cette série, le premier termeterme etant A, la somme des deux premiers est A , desP troispremiers A, et ainsi de suite, d’où il est facile de conclure quela somme de tous est M — 1, comme la donne le calcul ci-dessus.

Dans la suite, c’est-à-dire en iya3, M. Nicole remplit Renga-gement qu’il avoit en quelque sorte contracté, en annonçantune seconde partie au moins de son mémoire. Dans cette secondepartie qui fut même suivie d’un supplément en 1724, il consi-dère des suites auxquelles la méthode employée en 17x7 n’étoitpas applicable , et il donne à cette méthode une extension con-sidérable , au moyen de laquelle il trouve la sommation d’uneclasse considérable de séries , qui étoient de nature à échaperà ses premières recherches. Nous remarquerons au surplus icique M. Nicole fut prévenu en cette dernière partie par M. deMontmort, qui donna en 1719 ou 1720, dans les Transactionsphilosophiques , un mémoire sur la sommation des séries, oùil donne la somme de celles-ci, et même celle d’autres encoreplus compliquées par une méthode différente. Mais on doitconvenir que l’un et l’autre allumèrent en quelque sorte leurflambeau à celui de Taylor , surtout M. Nicole. Car quant àM. de Montmort, il avoit déjà trouvé beaucoup de choses dece genre , avant que M. Taylor eût publié son ouvrage ; cefut même le sujet d’une petite discussion entre eux-

Nous avons commencé à nous énoncer selon la maniéré deTome III. I i