248 histoire

clonner tous les facteurs de la fraction à différentier , plus uncroissant de la différence commune.

De là naît aussi la manière de revenir à la fraction qui estl’intégrale de la fraction proposée pour différence ou incrément.Car il faut d’abord supprimer son dernier facteur, comme dansle dernier exemple x-hà/z, et diviser par la différence communen. , multipliée par le nombre des facteurs comme ici 3 , onretrouvera ici pour grandeur ou intégrale dont la différence

a été donnée, — - 1 - ; ainsi celle-ci— 4n -—

x-\~n. x-\~m x. x^-n. x-\-%n. x-\-$n, x + qn

donnera, en supprimant le dernier facteur x -t- i\n ; et divisant

encore par 4 n , elle deviendra , dis je ,

_ I

x. x~\-n. x-^-zíu x - f - 3 n

, <l ui

sera l’intégrale dont la quantité ci-dessus sera la différence ou

l’incrément.

Telles sont les règles de cette arithmétique ou algorithme par-ticulier. Voyons-en 1 application.

Ce calcul est, comme on l’a déjà dit, applicable à la som-mation de séries de nombres formées selon certaines lois. Qu’onpropose par exemple , de trouver la somme de cette série 1.2-t- 2 .3 -4- 3 . 4 -t- 4 - 5 &c. jusqu’au 100» terme ; mais avant qued’aller plus avant, il est nécessaire de faire l’observation sui-vante.

Lorsqu’on a une série de grandeurs croissantes , suivant uneloi donnée et continuée jusqu’à un terme quelconque A, le termesubséquent B est évidemment la différence de la somme de tousles termes jusqu’à A inclusivement, d’avec la somme de tous lestermes jusques et inclusivement B. Donc si l’on avoit analyti-quement la somme de tous les termes y compris A ; et qu’on enprît la différence íinie , elle donneroit le terme B. Si donc onveut avoir la somme de tous les termes jusqu’à A inclusivement,il faut chercher le terme B qui le suit , et l’exprimer analy-tiquement j alors , en le considérant comme une différence finie ,qu’on en prenne l’intégrale, elle sera (sauf quelquefois l’addi-tion d’une constante , comme dans le calcul intégral ordinaire )la somme de tous les termes jusqu’à B exclusivement. Revenonsmaintenant à la série proposée ci*dessus.

H est aisé de voir que chaque terme s’y explique analytique-

tnent par x. x 1 , x étant successivement 1 . 2. 3 . &. Le cen-tième terme étant donc x. x-h 1 (où x est 100), le cent-unième

sera m-t-2 ; mais 1 intégrale de x - 4 - 1. x -t- 2 est

?• *+’• *±J f qui devient (x étant 100) == 100X - 101 x '°î— 343400.

Prenons