DES MATHEMATIQUES. Paut. V. Lrv. I. &55.

grale de Ax est x , et que celle de zxax -i- ax 2 est x 2 , &c.On désigne communément dans ce cas l’intégration par lesigma grec s. On trouvera donc sans grande difficulté que

2 1,4a: = x.

x‘ x\x2 X&X = —- a .

2 _ X ì

2 n; A.r = -3

S r 3 Ar = -

4

&c.

jr*A*

x^Ax

2

*Ax>

6 #

**A* ?

~~4~*

Ainsi donc , comme toute fonction rationnelle , et non frac-tionnaire, est un composé de puissances entières; il s’ensnitqu’on peut avoir f intégrale de toute expression différentielle-de cette forme.

On peut, et même on doit remarquer ici, que le signe dedifférence A entre dans l’expression de ces intégrales, au lieuque dans le calcul différentiel , ^intégration doit effacer tousles signes de différer,dation. Mais cela n’est point ici un incon-vénient, parce que la différence ax est toujours donnée enterme fini, par la nature de la question, et qu’elle est mêmele plus souvent l’unité pure numérique.

11 n’est pas le plus souvent aussi facile de trouver l’intégrale,lorsque l’expression d’une différence présente un forme frac-tionnaire , si ce n’est lorsque le numérateur étant constant, ledénominateur est formé de facteurs, ou peut se résoudre enfacteurs aritiimétiquenient proportionnels, comme x \ x -s- A x rx -j- 2 . a m, & c., ou x — a x ; x. x -4- a x , x -t- % a x , &c.

Car supposons cette expression fractionnaire-r----— : -„

il ne sera besoin pour l’intégrer que de supprimer le dernierfacteur , et diviser le tout par la différence de ax multipliéepar le nombre des facteurs restans , ce sera l’intégrale cherchée..

Ainsi elle sera dans ee cas

I

$A*. x%

Mais lorsque le numérateur contiendra lui-même , ou des x ,ou des a x, ou des fonctions quelconques de ces quantités,ou bien lorsque le dénominateur ne sera pas formé de fac-teurs arithmétiquement croissans, il faudra recourir à desartifices particuliers. Le plus général sera de réduire , si celasç peut, cette fraction en fractions partielles, qui ne con-tiennent à leurs dénominateurs que des facteurs , ayant lesconditions ci-dessus , ce qui se pourra souvent, et alors lasomme des intégrales sera l’intégrale totale cherchée, sauf 1 addi-tion de la constante, à déterminer par les circonstances».