256 HISTOIRE

Ainsi l’on peut intégrer cette formule , n étant un

nombre entier quelconque ; et il y aura dans cette intégraleautant de termes que n contiendra d’unités. On est encore par-venu à intégrer celle-ci, qui en comprend beaucoup d’autres ,

savoir —- -— -, M et N étant des quantités constantes.

x . x-\*nx, x~±-px 7 *

11 y a aussi dans ces expressions des cas qui ajoutent une nou-velle difficulté à l’intégration , comme lorsque parmi ces facteursil s’en trouve plusieurs égaux ou d’imaginaires ; mais la naturede cet ouvrage ne nous permet pas des détails plus profondset plus étendus sur ce sujet.

Nous n’avons jusqu’ici parlé que des différentielles finies àune seule variable: mais de même que, dans le calcul infini-tésimal , il y a des différentielles à' plusieurs variables , prove-nantes de la différentiation de fonctions qui en contenoientplusieurs ; il en est aussi dans le calcul des différences. Et demême qu’on peut toujours facilement trouver la différentielleinfiniment petite, d’une fonction quelconque; il n’y a pareille-ment nulle difficulté , si ce n’est quelquefois la longueur ducalcul, à trouver la différence finie d’une pareille expression.Ainsi il est évident que la différence de x -t- y et a x -t- Ay ;

celle de xy sera yáx -h xù y -t- axa y ; celle de ^ sera

y&X — xòy

y- y + Ar*

Mais il n’en est pas ainsi de l’inverse de ce calcul ; si lenombre des différentielles infiniment petites intégrables , estextrêmement limité en comparaison du nombre de celles quise refusent à toute intégration, il est encore plus petit dans lecalcul qui nous occupe ; quelques analystes du premier ordrenéanmoins s’en sont occupés avec succès, et ont déployé unesagacité singulière dans ce genre de recherches , que le grandEuler lui-inêirib avoit laissé comme intact; car il n’est questiondans son traité du calcul intégral , que des fonctions différen-tielles finies à une seule variable. Le C. Lagrange a etenduconsidérablement cette théorie, en faisant voir dans le premiervolume des Mémoires de Turin, que l’intégration des diffé-rences finies à plusieurs variables pouvoit être traitée par desméthodes analogues à celles du calcul intégral ordinaire; il endonne plusieurs exemples, et parvient par ce moyen à des inté-grations de différences finies qui avoient échapé jusques-là àtoute autre méthode. ^

Condorcet a fait sur ce meme sujet un travail semblable àcelui qu’il avoit exécuté sur les différentielles ; je veux direqu’ìi a recherché et donné dans les Mémoires de l’Académie^ des