2<$o HISTOIRE

est la limite du rapport de l’ordonnée à la sousécante PS , li-mite qui résulte du rapprochement continu , et enlin de la coïn-cidence des points q et: Q ; ou ce qui est la même cliose , deranéantissement de qr et aQ.

ISIous allons donc chercher , au moyen du calcul des diffé-rences finies , l’expression de ces quantités. Nous y supposeronsensuite qr et rq s’évanouir, Yp s’évanouissant lui-inême , etl’expression qui en résultera donnera, sans aucune suppositionde quantités négligibles à cause de leur petitesse , le rapportde Portion née- à la soutangente.

AP et PQ étant donc nommés respectivement r et y etYp = Ax , on aura d’après l’équation de la pai aboie (le para-mètre étant p ) , pQ — ~Vpx ; pq—p X {x -t- A x) , et consé-quemment pq =}/ px -f- p a j: , qui réduite en série, donne

yj

•x -+>

Axy/p _ Ax*y/ P

2 \/x 8 y/ X* 1

Aïi/ p

qr=pq pr—

^ Í7P ».^VL & c

&c. Ainsi l’on aura

le

Maintenant il est aisé de voir que le rapport de qr à aQ estmême que celui de QP à PS. Ainsi le rapport de l’ordonnée

rapport

à la sousécante sera exprimé par , où , mettant au lieu de Ay

sa valeur trouvée plus haut, on aura ^ i- &c.

1 ’ Ax iy x

Mais le rapport de — devient celui de l’ordonnée à la soutan-

gente , lorsque ax devient zéro ; ainsi ce rapport sera ce quedevient ôíc. , lorsque ax s’évanouit. Or il est

o-y x oy x i 1

évident quïl est alors uniquement exprimé par -

ou ■ ainsi

2X ’

l’on aura Vpx : zx ::y:^j = à la soutangente qui, en

mettant au lieu de y sa valeur V px , se trouvera — ix , commeon le sait d’ailleurs.

On trouvera la même chose de cette autre manière. De l’équa-tion y 1 =px on tire — =-, Ainsi puisque — est le

rapport de Pordonnée à la soutangente lorsque Ay devient — o,ce rapport se réduira à £ , d’où l’on déduira de même queci-dessus, la soutangente égale à 2 .x.

On pourra, par une semblable méthode , trouver la soutan-