2 . 70 . HISTOIRE
elles ont en quelque sorte le défaut d’introduire dans la géo-métrie des notions qui lui sont étrangères, telles que cellesdes vitesses d’accroissement ou de décroissement, ce qui im-plique les idées métaphysiques du mouvement , du temps et.de l’espace.
La méthode des limites appliquée au développement et à ladémonstration des nouveaux calculs, force à la vérité l’assen-timent à leurs résultats; mais c’est une méthode indirecte qui nesauroit satisfaire l’esprit autant qu’une méthode directe. Aussia-t-on vu dès la naissance de ces calculs, Rolle, Nieuwentiit,&c. , et long-temps après le célèbre évêque de Cloyne ( ledocteur Berkley ), les inculper de notions fausses, incomplètes,et les taxer d’erreur, ou au moins d’incertitude. II est vrai qu’àl’époque de cette dernière attaque , Maclaurin les défendit etétablit leurs principes sur des démonstrations à la manière desanciens. Mais quelle prolixité fatiguante , quel circuit de rai-sonnemens n’est-il pas obligé d’employer ! Encore , conservantles idées de fluxions, retombe-t ii, à la rigueur, dans l’incon-vénient remarqué plus haut, savoir d’introduire dans la géo-métrie des notions propres à une partie des mathématiques moinssimple que celle-ci.
Les géomètres ne pouvoient donc trop accueillir , commeils ont fait, le beau travail du citoyen Lsgrange, qui réduit,dans l’ouvrage cité , à des notions tirées de f Analyse pure etfinie , tous les procédés des calculs différentiel et intégral. Nousallons tâcher d’en donner une idée , telle que la comportentles limites de cet ouvrage.
Le premier pas à faire dans Rétablissement de cette théorie,et le premier que fait le cit. Lagrange , est de déterminer laforme que prend, une fonction'( par exemple celle de x ou F (a:),lorsque cette variable prend un accroissement quelconque fini,que nous désignerons par i. Or il commence à démontrer queque la valeur de cette fonction de x -t- i étant développée enune série ordonnée selon les puissances de i , ne peut être quede cette forme F ( x -4- i ) = F (x) pi ■+■ çi* Hy ri 3 -t- &c. danslaquelle p, q t r, s, Sc c. sont de nouvelles fonctions de x,qu’il fait voir se déduire successivement les unes des autres parun procédé uniforme.
En effet, d’abord 1’accroissemen.t i , ni aucune de ses puis-sances ne peut se trouver comme dénominateur dans aucun deces termes, puisque en supposant cet accroissement = o , lafonction qui dans ce cas doit évidemment se réduire à la simplefonction donnée de x , seroit infinie. 11 ne peut y avoir , d’unautre côté, dans ces termes des puissances fractionnaires de