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Après ces considérations générales d quelques autres sur ledéveloppement des fonctions , le cit. Lagrange reprend laformule F (x-+- 1 ) = Fx -hpi 4- qii -+- ri 3 , &c. j et au moyend’un tour d’analyse particulier , il la transforme en une nou-velle F;r 4- — 4- í-Fil Lîil &c., dans laquelle Fa.- est une

fonction dérivée de F m , F "m une autre fonction dérivée deF x , comme celle-ci l’étoit de la première , Scc. et ainsi desuite , en sorte que ayant une fois la fonction F'x , on aurapar le même procédé F "cc , F "m, &c.

Ceci s’applique immédiatement à l’invention et à la démons-tration du binôme de Neuton. En effet, d’après ce qu’on vient de

dire, qu’on suppoáe la fonction Fm=rn m ,on aura F(m-pr')—m-fi'",

. t i \ -[-1/ - F "xi 2 , F'''*í 5 F""xì* o

qui sera egal a x m 4 - F xi 4- 1 -H ■- , &c : il ne

u D . 1 2. 3 ?•4

s’agit que de trouver la première Fùn ; or les seules règles or-dinaires de l’algèbre donnent pour second terme mx m ~'. Ainsila fonction F"x se tirant de la précédente de la même manièreque celle-ci de la première , elle sera m. m— x. x m ~*, et lasuivante m. m —1 .m — 2. x m ~ 3 , et ainsi de suite, d’où il suit

que (x+z) m sera x m -\-m. x m ~'i-{-'

m. m — 1 . m-I. 2. Z

— CC

P, &c.

ce qui est précisément la formule donnée par Neuton , qui setrouve par-là démontrée analytiquement, et quelle que soit lanature de l’exposant m.

Nous devons en effet remarquer ici que quelqu’universel quesoit l’usage de cette formule , quelque exact qu’en ait toujoursété le résultat , on pouvoit en désirer une démonstration pluscomplète que celle donnée par Neuton , relativement aux casoù m est une quantité fractionnaire ou négative ; car la dé-monstration de Neuton n'est absolument concluante que pourles cas où m est un nombre entier positif ; les autres en sontdéduits par une simple induction, que tout esprit un peu versédans l’analyse algébrique sent bien ne pouvoir tromper, et quin’a en effet jamais été trouvée en défaut ; mais l’esprit mathé-matique est fondé à demander encore , surtout pour un théo-rème aussi fondamental , un genre de preuve qui ne laisse àl’esprit le plus vétilleux et le plus difficile en fait de preuve ,le moindre sujet de se refuser à l’admettre. Ainsi a-t-on vuun docteur Green , digne pendant de nos Gauthiers , quoiqueprofesseur de physique à l’université de Cambridge, et collèguede Cotes, non-seulement en douter, mais l’arguer de fausseté,et prétendre la démontrer par des exemples mal appliqués ;mais il ne paroît pas que les géomètres anglois, ni même Cotes,son collègue, ayent daigné lui répondre.

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