DES MATHÉMATIQUES. Paiit. V. Liv. I. 3o 9la progression est facile à appercevoir. On ne trouve au surplusaucune part comment Brounker parvint à cette expression."Wallis a tenté de le dévoiler ; mais sa manière est si embarrassée,qu’il n’y a pas lieu de croire que ce soit celle de son premierauteur. Huygens a fait pour la construction de son automateplanétaire un usage de cette sorte de fraction dont nous par-lerons plus loin , et qui prouve que ses principales propriétéslui étoient connues.

Euler me paroît le premier qui, vers le milieu de ce siècle,ait pris ce genre de fraction dans une considération particu-lière , et qui se soit attaché à en développer les usages et lespropriétés. C’est ce qu’il a fait dans un mémoire intitulé :De Fractionibus continuis, inséré dans le tome IX des An-ciens Mémoires de Pétersbourg ; c’est de ce mémoire quenous extrairons en grande partie ce qu’on va lire sur cesujet.

Et d’abord on doit remarquer qu’il y a deux sortes de frac-tions continues , l’une de celles qui se prolongent à l’iníini,Vautre de celles qui se terminent, le dernier dénominateurétant un nombre entier sans addition. 11 faut faire voir l'originedes unes et des autres. Elle se déduit de la manière dont unefraction ordinaire se transforme en fraction continue.

Cette transformation se fait ainsi : Soit » par exemple , lafraction ; on procédera comme si l’on vouloit chercherle diviseur de ces deux nombres , c’est-à-dire qu’on diviserad’abord 5n par 487 , ce qui donnera un quotient =, 1 et unréste égal à 24. Ce reste servira à diviser le premier diviseur487 , et le quotient sera 20 avec un reste égal à 7. Le reste24 divisé par 7 donnera 3 pour quotient avec un reste = 3;et enfin 3 divisant le reste précédent 7 , donnera 2 pour quo-tient , avec 1 de reste , qui divisant 3 donnera 3 sans reste ,ce qui terminera l’opération.

Qu’on prenne maintenant ces quotiens 1, 20, 3, 2, 3, òn en for-mera ainsi la fraction continue égale à ^7, savoir 1 + -^r I

T+i

2+p3 »

ce qu’on trouvera en effet vrai , en prenant la peine d’addi-tionner ces fractions par une marche rétrograde. Ainsi il estaisé de voir que toute fraction rationnelle et finie doit néces-sairement se terminer ; car on arrivera toujours, à un dernierquotient sans reste.

Mais si le dénominateur de la fraction étoit une quantitéirrationnelle ou transcendente réduite en ,fraction décimale , et