3i4 HIS TOIRE

Un problê'me qui se présente ensuite et que résout Euler ^c’est le moyen de transformer une fraction continue en unesérie de termes continuellement décroissans , ou au contrairede représenter une série donnée par une fraction continue. Le■voici :

Ayant trouvé , comme on a vu ci-dessus , les sommes dupremier et du second terme de la fraction , des trois premiers

des quatre premiers , savoir a ;

ab r + abcd + a d cd-tf* ab -{- i ,

b ? bc-\~i 7 bcd-\-b-\-d 7

prenez-en les différences, qui seront?

ô cd+b+d) - I ci + 17+^77+7) ' à. dont on peut sans beaucoupde peine appercevoir la progressiou ; ainsi la valeur de la fraction

Continue y b(bc-{-i) d" (bc-^-i) (bcd-^-b-\-d) e-^-bc-\-dc-±-bc-\-i)(bcd+b-\-d) (bcd-

Sec. , ce qui se démontre avec facilité ; car si l'on prend en-semble les deux premiers termes de cette série , on trouve lasomme des deux premiers termes de la fraction continue ; lasomme des trois termes, de la série est égale à celle des troispremiers de la fraction, et ainsi de suite, comme il est facilede s’en convaincre par le calcul. Donc la série continuée àl’infini est égale à la fraction aussi infiniment prolongée..

On trouvera, vice vers d , mais par une analyse un peutrop longue pour trouver place ici , que si l’on a une sériecomposée de termes entiers alternativement positifs et négatifs,comme a — í + c-— d- 1 - e —jf, &c. , elle sera égale à une

fraction continue, comme celle-ci, aJt ' b ■

f- J- s.— p -p ac

h — c -p bd

c — ce

d — e à.

Mais si , ce qui sera le pins. ordinaire la série est composéede nombres fractionnaires, comme f—y-t- ~ —J -1- 7» &c., la

fraction continue qui en résultera sera - -

1 - a-^ aa

b. — a-^bb

c— b -fr-cc_—

d — c *4r dd

e — d- &c*

11 nous reste à donner quelques exemples de cette transforma-tion. Nous prendrons à cet effet la fameuse série ì -—7-t--y—y &c.qui exprime le rapport du cercle au quarré du diamètre ; ontrouvera, exx substituant au lieu de a,ijC, d, &c. leurs valeurs