3a g: HISTOIRE

Delà résultera l’équation du second degré zz -+- 3 z — îï

donc z = jl // i 5 — et conséquemment a:=^Vi 5 —f. Telleest la somme de la fraction continue dont il est question etprolongée à l’infini , et nous pouvons assurer que le mêmerésultat aura lieu si l’on. s’arrête. seulement après. deux , troispériodes, &c. Le progrès du calcul indique aussi suffisammentqu’on ne sauroit arriver par ce moyen à une équation autreque du second degré , ce qui est fâcheux ; car s’il eût pu ré>sulter de là des équations de degrés plus élevés, c ent été unmoyen très-commode de les résoudre au moins par approxi-mation.

Mais nous croyons devoir nous borner à ces traits les plusfaciles de la théorie des fractions continues, et nous termi-nerons , selon notre usage , cet article par l’indication desprincipaux écrits relatifs à cette matière. Le premier de tousest celui d’Eule.r , dont nous avons parlé pins haut, et qui setrouve dans le cinquième volume des anciens Mémoires deîétersbourg. II y donna une continuation dans le neuvième.L ’Introductio in ana ly si m inJinitoruiTL , d’Euler , contient un,précis de ce que cette théorie présente de plus intéressant. Ledix-neuvième volume des nouveaux Mémoires contient encoreun supplément sur ce sujet., Daniel Bernoulli s’en est aussi'occupé dans deux mémoires qu’on lit parmi ceux du .....—volume de cette dernière collection. Mais on doit surtoutbeaucoup à cet égard au cit. Lagrange qui, dans ses additionsà l’algèbre d’Euler, traduite en frariçois , a donné un traitéaussi précis qu’élégant et profond de ce genre de fractions dontfutilité lui paroît ne pouvoir être trop appréciée. II en a faiteffectivement un usage tout-à-fait neuf dans la théorie deséquations , pour trouver par dès approximations de plus enplus rapprochées., les racines irrationnelles des équations al-gébriques (i).

II en a fait depuis , c’est-à-dire en 1776, un usage encoreplus remarquable , en faisant voir futilité de ce genre de-fractions dans le calcul.intégral , pour parvenir,, par un moyenplus commode que celui des séries ordinaires, a 1 intégrationapprochée des équations différentielles dont f intégrale finie estimpossible-, ou très-difficile à trouver. L’emploi des fractionscontinues a en effet sur celui des séries ì’avantage de donnerdirectement la valeur rationnelle et finie de la quantité cherchée,,quand ; elle en a une , ou d’indiquer quand elle ne peut se ter-miner, qu’aucune fonction rationnelle et finie, nv répond, à la.

{i) Mém, de l’ctcad. de Berlin , ann, 1765.