DES MATHEMATIQUES. Part. V. Liv. ï. 335avec des observations critiques sur les diverses solutions quien avoient été données.

On est sans doute étonné de ce que nous n’avons rien ditde la solution propre de Jean Bernoulli lui-même , car il n’étoitpas homme à proposer une question dont la solution ne futdéjà en son pouvoir. II en avoit fait part à Leibnitz* dans lemême temps qu’il lui adressoit le problêtne. Nicolas Ber-noulli la communiqua au public dans !e premier des écrits dontnous avons parlé plus haut. Elle est d’une extrême élégance.II trouve en effet que si le rapport du rayon oscillateur à lapartie retranchée entre la courbe et Taxe est exprimé par celuide 1 à n , que a soit une ligne donnée , f équation de la

courbe ayant la propriété demandée, sera j — S

y/— x-' : ’

ce

qui est l’équation du cercle lorsque n — \. Et en effet, le rayonoscillateur dans le cercle , qui n’est autre que le rayon , estégal à la partie de ce rayon intercepté entre la courbe et Taxe,savoir le rayon même. Si n est ~ , on aura pour équation

x- àx

, ce qui est l’équation de la cyclo'ïde ; car dans

cette courbe , le rayon oscillateur est partagé par Taxe en deuxparties égales. Nous ne remarquons ces choses que pour fairevoir combien la géométrie est ferme dans sa marche et satis-faisante par-là. Cette équation , au surplus , avoit aussi ététrouvée par Taylor , et ne pouvoit manquer de l’être partous ceux qui se conduiroient convenablement dans la solutionde cette première partie du problème.

II est maintenant aisé de voir qu’en faisant varier a , quiest le paramètre de la courbe , on en aura une infinité drtmême sommet et sur le même axe , et ce sont celles quidoivent être coupées à angles droits. II est remarquable , ausurplus , que toutes ces courbes sont semblables dans le sensque toutes les paraboles et hyperboles équilatères le sont ; cequi , par un heureux hasard, facilite la solution du problème „en le réduisant , à certains égards, au cas des courbes sem-blables.

La seconde partie du problème , ou la détermination de listrajectoire même, n’est pas moins élégamment résolue parBernoulli , au moyen des quadratures. Mais il seroit un peutrop long de l’exposer ici ; nous nous bornerons à inviter les-géomètres à la voir dans ses Œuvres (r).

II ne faut pas omettre ici que Nicolas Bernoulli , fils dés

(*) Tome II*

pages 190, 291 et suiy.