DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 3<í 7qui se trouve compris entre i et 2, par exemple, est le loga-rithme de %. IL s’en trouve dans le système de nos logarithmes0.D0102, &c. Mais ce que Briggs ne faisoit que par une suiteinfiniment laborieuse d’extractìon successives de racines quar-rées , Halley enseigne à le faire au moyen de diverses sériesauxquelles il parvient par une considération très-ingénieuse. IIsuppose qu’entre l'unité et un nombre donné plus grand ,1 -h ç , on insère un nombre de proportionnelles qui partagentla raison de 1 à 1 -+- q en un nombre de raisons égales, égalà m ; on y parviemlroit par une extraction successive de ra-cines quarrées de 1 -+- q ; car , par exemple , la premièreextraction partage la raison de 1 -t- q en deux raisons égales ;la seconde , qui équivaut à une extraction de la racine quarrée,en donne quatre ; l’extraction suivante , qui seroit une extrac-tion de la racine huitième , en donne huit, et ainsi de suite.Ainsi l’extraction de la racine m m en donnera le nombre m.

II s’agit donc de trouver la valeur de cette expression 1 cp ;en supposant m un si grand nombre , que la racine trouvéeapproche infiniment de l’unité , on aura dans cette expressioncelle de la raison infiniment rapprochée de la plus petite deces moyennes proportionnelles, la plus voisine de l’unité ; etle nombre des intervalles égaux dans lesquels sera divisée laraison de 1 à 1 -t- q sera égale à m.

Mais comment trouver la valeur de V x -t- q , en supposant m ,comme nous avo is dit plus haut, c’est à dire infiniment grand?Halley fait usage de la formule (lu binôme de Newton, suivant

lequel cette racine seroit i-| -~n-

1 m J-

1 1• m. m

±2 _ I

_ rn.m 1 ' m ^ &C*

2- 3

qui donne , en faisant les multiplications convenables ,

1—3/72 lm m

N?

.. 3. m i

■ q ì , &c. Mais , dit Halley , si m

est un nombre infini ( ou pour éviter l’idée de l’infinï ) , unnombre si grand , qu’on puisse négliger en comparaison toutautre nombre fini , les numérateurs de cette formule se rédui-ront à m , ornm , 6 rrû , &c. car le numérateur du troisième

terme — 1 — m ou — 1 n’est que m ; de même le troisièmese réduit à zmrn , ce qui donne , pour la suite cherchée ,

1 L’excès de la dernière de

ces moyennes proportionnelles sur l’unité est donc. . . .m* (9 , & c.), série qui est aussi le logarithme