DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 3 77d’Euler, inséré parmi ceux de l'Académie de Berlin , pour 1749 ,et a un mémoire de Dalembert sur le même sujet, dans le pre-mier volume de ses Opuscules , imprimé en 1761.

Quoique l’ouvrage de Dalembert soit fort postérieur à celui deEuler , nous croyons devoir lui donner ici la première place,parce qu’il y renforce les raisons de Bernoulli. II s’attache surtoutà démontrer par la considération des aires de l’hyperbole la né-cessité des deux branches de la logarithmique , et il donna surcela des raisons qui forçoient Euler à un aveu singulier; c'estqu’il y avoit à la vérité au-dessous de Taxe de la logarithmiqueune infinité de points conjugués qui lui appartenoient, mais quinéanmoins ne formoient pas une courbe continue, chose vrai-ment paradoxale.

En effet, disoit Dalembert, pour démontrer que la logarith-mique a deux branches, l’une supérieure, l’autre inférieure, pre-nons , au lieu de à —^ qui est l’équation différentielle de cettecourbe, cette équation plus générale dx= a yl f où l’on supposeque n est un nombre impair quelconque, afin que n — 1 devienneun nombre pair, l’intégrale de cette différentielle est x

qui donne toujours une courbe à deux branches, l’une au-dessus,l'autre au-dessous de son asymptote. Il en doit donc être de mêmelorsque n = 1 , ce qui est le cas de la logarithmique. Ce raison-nement de Dalembert diffère peu de celui par lequel Bernoulliétablissoit la même chose ; il est seulement tiré d une considéra-tion analytique plus générale. Dalembert ajoutoit encore que sidans la logarithmique on partage en deux également l’intervalleentre deux ordonnées , comme AC en E {fig. y 3 ) , l’ordonnéeEF sera moyenne proportionnelle géométrique entre AB et CD ,c est-à-dire la racine quarrée de AB x CD ; mais la racine de a

est aussi bien — que -+- V a. II y a donc au-dessous de EF = -+-~V AB x CD une autre valeur égale E/l De même que dans la pa-rabole où y- = ax on a nécessairement y = q= V ax.

Je passe plusieurs autres raisons favorables au sentiment deBernoulli et de Dalembert pour passer à quelques-unes de cellesque Euler allègue en faveur de celui de Leibnitz.

Telles sont celles-ci : i°. Le logarithme de x -+- x est'commel’on sait x — j x 1 -4- ~ m 3 — 7 m 4 , & c. Donc pour avoir le loga-rithme de — 1, il faut ici supposer x = — 2. Or alors la série setransforme en—2 — -.4 — y. 8—16, &c. Mais cette sérieest bien loin d’être —. o , comme cela est nécessaire dans le senti-ment de Bernoulli. Le logarithme de — 1 sera donc imaginaire ,puisqu u est d’ailleurs clair qu’il ne peut être ni positif ni négatif,Tome III. 1 1 B b b