DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I.

A promet de donner à B un écu , si, avec un dé à six faces ,ïl amène au premier coup 6 , ou un point détermine ; deuxécus , s’il ne l’amène qu’au second coup ; trois, s’il ne l’amènequ’au troisième ; quatre aû quatrième 5 quelle est l’espérarice ueB ? On demande la même chose , si A promet à B de lui donnerdes écus en cette progression i. 2. 4. 8. 16, &c. ou 1. é. q. 27 ,&c. ou 1. 4. 9. 16. 25 , &c. ou i.8. 27, &C. Montmort n’y vitpas grande difficulté, et en effet on trouve facilement quedans Te premier cas l’espérance de B, ou ce qu il devroit mettrea “ jeu pour jouer à jeu égal, est -t- 4 - j-fg ' ^ c '

l’infini. On volt donc ici qu’il n’est question que de sommer laSuite infinie ci-dessus, dont les numérateurs croissent arithvné-tiquement , et les dénominateurs géométriquement; ce qu'onsavoir déjà faire.

Dans les divers cas du second problème on trouve que l’es-pérance de B , ou sa mise au jeu , est j -+- ^ -+- — -+- rès& > à.ou -g- —t— j— -4— , &c. OU + &C. respectivement ;

toutes progressions susceptibles d’être sommées, ce qui sert decommentaire à ce que répond Montmort. « Les deux derniers,dit-il, de vos cinq problèmes n’ont aucune difficulté. Il ne s’agitque de trouver les sommes des suites dont les numérateursSont en progression arithmétique ou géométrique, ou des car-rés , des cubes, et les dénominateurs en progression géomé-trique. La première de ces progressions en particulier est uneprogression soutriple dont la somme à l’infini est » 11 n’yavoit en cela aucun paradoxe; car ce ne seroit pas un grandeffort à B que de parier dans ce cas { d’écu contre la misede A. Mais Daniel Bernoulli , en simplifiant en quelque sortele problème, y a fait naître un paradoxe singulier que voici :

11 n’est plus question d’un dé à six faces , mais d’une simplepiece de monnoie , ou du jeu de croix ou pile. Jean prometà Pierre un écu, s’il amène croix au premier coup ; deux, s’ilne l’amène qu’au second ; quatre , s’il ne l’amène qu’au troi-sième ; huit, s’il ne l’amène qu’au quatrième , et ainsi desuite. Que doit-il lui-même mettre au jeu pour jouer à jeuégal ? On trouve dans ce cas que ce qu’il devroit mettre aujeu est exprimé par la série ^ -t— ^ -H —t— -r —1^ , &c ; card’abord pour le premier coup, comme il y a autant de pro-babilité à amener croix qu’à ne pas ramener, l’enjeu de Pierredevroit être un écu. Mais pour n’amener croix qu’au secondcoup, il y a une probabilité qui n’est que de -j ; il faut donc,pour trouver ce que Pierre doit mettre au jeu , diviser 2 écusP ar 4 , et l’enjeu de Pierre sera ~ écu. La probabilité de n’a-mener croix qu’au troisième coup est exprimée par la misede pierre ne doit donc être que la huitième d e ia mise deTome III. Eee