656 HISTOIRE

L’analyse conduit Bernoulli à une équation différentielle fortcompliquée, qui exprime le temps , et dont Pintégrale, par lanature du problème, doit être égale à une quantité, ou fonctionde l’abcisse, qui soit toujours la même, quelle que soit l’ab-cisse, puisque, de quelque hauteur que tombe le corps, il fautque le temps employé jusqu’au bas de la courbe soit le meme.Cela l’engagea à démontrer quelques théorèmes préliminaires surce qu’on appelle les fonctions semblables , et il y lit voir quetoutes ces fonctions, lorsqu’elles sont ce qu’il appelle de dimen-sions nulles, sont égales entr’elles. Eníin , par des adresses decalcul, il arrivoit à une équation différentielle entre l'ordonnéeet l’abcisse de la courbe qu’il construisoit au moyen des qua-dratures.

Nous remarquerons d’abord qu’il n’en est pas ici comme pourla tautoclirone dans le vide ou les deux branches de la descenteet de la montée sont semblables et égaies ; car l’on sent aisémentque le corps arrivé au plus bas de la courbe avec une vitessemoindre que celle qu’il auroit eue sans la résistance du milieu ,et devant de plus rencontrer, en remontant, une double causede retardement, celle de la pesanteur et celle de la résistance dumilieu dans le même temps, doit remonter à nne hauteur moindre,et rouler le long d’une courbe de forme différente.

En second lieu, le point de la plus grande vitesse acquise entombant, n’est pas le point le plus bas de la courbe. Le corps aacquis cette plus grande vitesse avant que d’arriver au plus bas :c’est ce que démontroit Bernoulli. II sit voir eníin, que si l’onsuppose la résistance nulle, la courbe en question devient lacvcloide ordinaire.

^Euler suivit une route un peu différente et également digned'un analyste tel que lui. Aussi arriva-t-il à des résultats sem-blables. Mais nous ne pouvons développer ici les moyens analy-tiques qu’il employa. Nous ne parierons que de quelques consi-dérations sur les tautochrones dans le vide qu’on trouve dans lemême volume.

Dans l’acception ordinaire de la tautochrone, on demandeque le temps de la descente du corps par une des branches de lacourbe , soit égal à celui de la montée et ensuite celui de la des-cente subséquente égal au dernier et à celui de la montée dansla première branche, et ainsi toujonrs jusqu’à la fin du mouve-ment qui, mathématiquement parlant, dcvroit ne s’anéantirjamais. Euler étend cette idée du tautochronisme , en cherchantquelles courbes auroient la propriété de faire que les temps de ladescente et de la montée , réunis ensemble, fussent toujours lesmêmes. Une pareille courbe auroit les mêmes avantages que lacycloïde pour la juste division du temps, puisque l’oscillation

entière ,